第二十六章 反比例函数 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教版数学九年级下册

第1讲　反比例函数 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 反比例函数及应用 反比例函数的图像及性质 √ 反比例函数的应用 √ 反比例函数与几何综合 反比例函数k的几何意义 √ 反比例函数与面积综合 √ 【知识框架】 反比例函数的应用 数的图像及性质 反比例函数 反比例函数解析的确定 反比例函数的图像及性质 反比例函数的图像及性质   数的图像及性质 反比例函数的概念   反比例函数与几何综合   数的图像及性质 反比例函数与面积综合   反比例函数k的几何意义   模块1　反比例函数的图像及性质 【知识精讲】 1、 反比例函数的定义 函数(为常数，)叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数． 2、 反比例函数的图象 反比例函数(为常数，)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线． 反比例函数与()的图像关于轴对称，也关于轴对称． 3、 反比例函数图象的性质 反比例函数(为常数，)的图像是双曲线； 1． 当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小； 2． 当时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大． 注意： （1）反比例函数()的取值范围是．因此， ①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”， 如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小． 这是由于，即或的缘故． 如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的． （2）由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点， 但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． （3）在画出的图象上要注明函数的解析式． 【经典例题】 【例1】 若函数(k为常数)是反比例函数，则k的值是______，解析式为_________________． 【例2】 函数,的图象如图所示，则结论： （1）函数图象的交点的坐标为； （2）当时，； （3）当时，； （4）当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________． 模块2　反比例函数的应用 【知识精讲】 一、 用反比例函数来解决实际问题的步骤： 由实验 获得数据 用描点法 画出图象 根据所画图象 判断函数类型 用待定系数法 求出函数解析式 用实验数据验证 【经典例题】 【例3】 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元． (1)分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式． (2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？ (3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 【例4】 一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化， 人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600，回答下列问题： （1）用含的代数式表示，是的反比例函数吗？为什么？ （2）当木板面积为0.2时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过6000，木板面积至少要多大？ 模块3　反比例函数与几何综合 【知识精讲】 一、 反比例函数k的几何意义 反比例函数(为常数，)中比例系数的几何意义,即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线,所得矩形面积为． 二、反比例函数与面积综合 反比例函数问题，许多都是与三角形、四边形等图形的面积联系在一起的，其中常见的有已知反比例函数的解析式，求其图象围成的某一图形的面积；或已知某一图形的面积，求符合条件的反比例函数的解析式等题型． 【经典例题】 【例5】 如图，直线和双曲线交于、两点，是线段上的点（不与、重合），过点、、分别向轴作垂线，垂足分别为、、，连接、、，设的面积为、的面积为、的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【例6】 如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，， 则_______． 【例7】