第二十四章 第3讲 直线与圆的位置关系 讲义 (知识精讲+典题精练)2023—2024学年人教版数学九年级上册

第3讲　直线与圆的位置关系 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系确定 √ 切线的性质与判定 切线的性质与判定 √ 切线长 切线长定理 √ 三角形的内切圆与内心 √ 【知识框架】 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线的性质与判定 切线长 相离 相切 相交 切线的性质 切线的判定 切线长定理 三角形的内切圆与内心 模块1　直线与圆的位置关系 【知识精讲】 直线与圆的位置关系： 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点． 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． 直线与相交 【经典例题】 【例1】 已知的半径为2，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离或相切 D．相交或相切 【例2】 如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【例3】 中，，，，给出下列三个结论： ①以点为圆心，3 cm长为半径的圆与相离；②以点为圆心，4cm长为半径的圆与相切；③以点为圆心，5cm长为半径的圆与相交．上述结论中正确的个数是（ ） A．0个 B．l个 C．2个 D．3个 【例4】 如图，在直角梯形中，，，且，是的直径，则直线与的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【例5】 如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点，过点作的切线，，，，那么直线与以点为圆心，为半径的圆的位置关系是 ． 【例6】 在中，，，，以点为圆心，为半径的圆和有怎样的位置关系？为什么？ （1）； （2）； （3）． 模块2　切线的性质与判定 【知识精讲】 1、 切线的性质 1. 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．： 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2. 注意事项：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心 ①过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则． ②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点． ③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心． 2、 切线的判定 1. 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2. 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 3. 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂点在圆上． 【经典例题】 【例7】 如图，直线与相切于点，的半径为，若，则的长为( ) A． B． C． D． 【例8】 如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，若，则______． 【例9】 如图，与相切于点，线段与弦垂直于点，，，则切线 ． 【例10】 如图，的半径，直线，垂足为，交⊙O于两点，，直线l平移多少厘米时能与⊙O相切？ 【例11】 如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，求证: 与相切． 【例12】 已知：如图，内接于，是过的一条射线，且．求证：是的切线． 【例13】 如图，已知是的半径，是中点，，是延长线上一点，且．求证：是的切线． 【例14】 如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）． 【例15】 如图，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【例16】 如图，以等腰中的腰为直径作，交于点．过点作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 模块3　切线长 【知识精讲】 1、 切线长 1． 切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 如图, 由可得：① ②, 即：是的平分线． 2、 三角形的内切圆与内心 1．三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫