第二十四章 第2讲 圆的概念及性质（二） 讲义 (知识精讲+典题精练)2023—2024学年人教版数学九年级上册

第2讲　圆的概念及性质（二） 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 圆周角定理 圆周角定理 √ 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 √ 过三点的圆 √ 三角形的外接圆与外心 √ 圆内接四边形(选讲) 【知识框架】 圆周角定理 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 圆内接四边形 点与圆的位置关系 过三点的圆 三角形的外接圆与外心 模块1　圆周角定理 【知识精讲】 1、 圆周角与圆心角的概念 1． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2． 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 2、 圆周角定理 1． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2． 推论: 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【经典例题】 【例1】 如图，，则弧所对圆周角的度数是（ ） A． B． C． D． 【例2】 如图，已知是的圆周角，，则圆心角是（ ） A． B． C． D． 【例3】 已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是( ) 【例4】 如图，是的外接圆，已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【例5】 如图，的弦相交于点，的度数为，的度数为，则等于（ ） A．60° B．100° C．80° D．130° 【例6】 如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为（ ） A．30° B．40° C．15° D．25° 【例7】 如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为 ． 【例8】 如图，是的直径，弦交于点，弦交于点，且．若，则___________． 【例9】 如图，已知为⊙O的直径，，，则______． 【例10】 如图，在中，的度数为，是上一点，是上不同的两点(不与两点重合)，则的度数为____________． 【例11】 已知，如图：为的直径，，交于点，交于点，．给出以下五个结论：①，；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正确结论的序号是 ． 【例12】 如图，为的直径，是的弦，的延长线交于点，若，求的度数． 【例13】 如图，是的直径，点，，都在上，若，求． 【例14】 如图是半圆的直径，点在弧上，且平分，已知，求的长． 【例15】 如图，是的内接三角形，点是优弧上一点(点不与重合)，设，． （1）当时，求的度数； （2）猜想与之间的关系，并给予证明． 模块2　点与圆的关系 【知识精讲】 1、 点与圆的位置关系： 1. 确定圆的条件 （1）圆心(定点)，确定圆的位置； （2）半径(定长)，确定圆的大小． 注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2. 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心 的距离与半径的大小关系决定． （2）设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上； 点在圆内.如下表所示： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 点在的外部. 点在圆上 点在圆周上 点在上 点在圆内 点在圆的内部 点在的内部 2、 过已知点的圆： 1. 过已知点的圆 （1）过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点． （2）过两点的圆有无数个；这些圆的圆心在线段的垂直平分线上． （3）过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在； 若点不共线，则存 在唯一的圆过三点，且圆心为线段、、中垂线的交点。 （4）过n（）个点的圆；可做1个或0个. 2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 （1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2）“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3、 三角形的外接圆及外心 1. 三角形的外接圆 (1) 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． (2) 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.