第二十四章 第1讲 圆的概念及性质（一） 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教版九年级数学上册

第1讲　圆的概念及性质（一） 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 圆的相关概念 圆的相关概念 √ 圆的性质 垂径定理 √ 弧、弦、圆心角、弦心距的关系 √ 【知识框架】 圆的概念及性质 弧、弦、弦心距、圆心角的关系 圆的概念 圆的相关概念 圆的性质 垂径定理 圆的相关概念 弦 弧 角 轴对称性 旋转对称性 模块1　圆的相关概念 【知识精讲】 1、 圆的概念 1． 描述性定义: 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所 形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径． 2． 集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径． 3． 圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”． 4． 同圆、同心圆、等圆： 圆心相同且半径相等的圆叫同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：同圆或等圆的半径相等． 2、 弦与弧的相关概念： 1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍． 3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧． 5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3、 圆心角与圆周角 1．圆心角: 顶点在圆心的角叫做圆心角． 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧． 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2．圆周角: 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【经典例题】 【例1】 判断： （1）直径是弦，弦是直径 （ ） （2）半圆是圆弧 （ ） （3）长度相等的弧是等弧 （ ） （4）能够重合的弧是等弧 （ ） （5）圆弧分为优弧和劣弧 （ ） （6）优弧一定大于劣弧 （ ） （7）半径相等的圆是等圆 （ ） 【例2】 下列说法中正确的是（ ） A．长度相等的两条弧是等弧 B． 优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且是同一个圆中最长的弦 【例3】 下列命题中正确的是（ ）． A．过圆心的线段叫做圆的直径 B． 面积相等的两个圆是等圆 C．大于半圆的弧叫劣弧 D．平分弦的直径垂直于这条弦． 【例4】 过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【例5】 设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（ ） A．你只能塞过一张纸 B．你只能塞过一只书包 C．你能钻过铁丝 D．你能直起身体走过铁丝 【例6】 如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，，则下列格式中正确的是( ) A． B． C． D． 【例7】 如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 模块2　圆的性质 【知识精讲】 1、 圆的对称性： 1. 轴对称性： （1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2）圆的轴对称性垂径定理． 2. 旋转对称性： （1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心； 圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． （2）圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2、 垂径定理: 1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等． 3、 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系： 1. 定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 2. 推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【经典例题】 题型一：垂径定理 【例8】 下列判断中正确的是（ ）