第二十二章 第3讲 二次函数的应用 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教九年级数学上册

第3讲　二次函数的应用 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 二次函数的应用 二次函数的应用 √ 【知识框架】 二次函数图象信息题 二次函数的应用 二次函数与面积最值问题 二次函数与利润最大化问题 二次函数与拱形问题 二次函数与运动轨迹问题 二次函数应用的其它问题 模块1　二次函数的应用 【知识精讲】 1、 二次函数求最值问题 设二次函数，自变量在没有限制条件时： 当时，；无最大值； 当时，；无最小值． 当自变量有限制时，要分类讨论． 2、 二次函数的常见应用： 1． 二次函数的图象信息题型； 2． 二次函数与利润最大化问题； 3． 二次函数与面积最值问题； 4． 二次函数与运动轨迹问题； 5． 二次函数与拱形问题； 6． 二次函数应用的其他问题． 【经典例题】 一、二次函数图象信息题 【例1】 足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列那幅图刻画（ ） A B C D 【例2】 某幢建筑物，从米高的窗口用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图所示）如果抛物线的最高点离墙米，离地面米，则水流下落点离墙距离是（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例3】 如图，点、、在直线上，点、、、在直线上，若，从如图所示的位置出发，沿直线向右匀速运动，直到与重合．运动过程中与矩形重合部分的面积随时间变化的图象大致是（ ） 【例4】 如图，已知：正方形边长为 ，分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（ ） A B C D 【例5】 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线：的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是_______米． 二、二次函数与利润最大化问题 【例6】 某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，． （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于元，试确定销售单价的范围． 【例7】 某公司生产一种产品，每件成本为元，售价为元，年销售量为万件．为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投入的广告费用为（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的倍；同时又是的二次函数，相互关系如下表： …… …… （1）求与的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润（十万元）与广告费（十万元）的函数关系式； （3）如果一年投入的广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 【例8】 某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台． （1）假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【例9】 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如左图所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． （2）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如右图所示，该经销商拟每日售出以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大． 【例10】 某宾馆有个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于元。设每个房间的房价每天增加元（为的正整数倍）． （1）设一天订住的房间数为，直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式； （3）一天订住多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 三、二次函数与面积最值问题 【例11】 张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为米．矩形的面积为平方米．