第二十二章 第2讲 二次函数的解析式 讲义 (知识精讲+典题精练)2023—2024学年人教版数学九年级上册

第2讲　二次函数的解析式 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 二次函数的解析式 二次函数的一般式 √ 二次函数的顶点数 √ 二次函数的交点式 √ 【知识框架】 二次函数的一般式 二次函数的解析式 二次函数的交点式   二次函数的顶点式   模块1　二次函数的解析式 【知识精讲】 1、 二次函数的表达式 1. 一般式：. 2. 顶点式：. 3. 两根式（交点式）：（）. 2、 如何设点 1. 一次函数（）图像上的任意点可设为；其中时，该点为直线与轴交点. 2. 反比例函数（）图像上的任意点可设为. 3. 二次函数（）图像上的任意一点可设为；时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点. 4. 点关于的对称点为． 3、 如何设解析式 1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式； 2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式. 4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式 （交点式可视为对称点式的特例） 注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【经典例题】 【例1】 已知抛物线过、和三点，那么的值分别是（ ） A． B． C． D． 【例2】 把二次函数用配方法化成的形式（ ） A． B． C． D． 【例3】 若二次函数配方后为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例4】 根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（ ） … … … … A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧 C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点 -1 0 1 1 8 3 【例5】 若，则由表格中信息可知与之间的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 【例6】 如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 【例7】 如图，抛物线的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 【例8】 把二次函数用配方法化成的形式是_________，该二次函数图象的顶点坐标是_________． 【例9】 已知二次函数与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是，则的值是_________． 【例10】 已知一个二次函数过，，，，，三点，求二次函数的解析式． 【例11】 已知二次函数过点，，且顶点为，.求函数解析式． 【例12】 求符合下列条件的解析式： （1）通过点； （2）与的图象开口大小相同，方向相反； （3）当自变量的值由增加到时，函数值减少． 【例13】 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线； 乙：与轴两交点的横坐标都是整数； 丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为． 请写出满足上述全部特点的二次函数解析式？ 【例14】 已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求： （1）二次函数的解析式； （2）的值； （3）该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标． 【例15】 已知二次函数的图象经过点，且与轴交于两点 （1）试确定此二次函数的解析式； （2）判断点是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出的面积；如果不在，试说明理由． 【例16】 已知函数的图象与轴交于相异两点、，另一抛物线过、，顶点为，且是等腰直角三角形，求、、. 【例17】 二次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，若，，且点的横坐标分别为，求这两个函数的解析式． 【例18】 已知抛物线（其中）不经过第二象限． （1）判断这条抛物线的顶点所在的象限，并说明理由； （2）若经过这条抛物线的点的直线与抛物线的另一个交点为，求抛物线的解析式． 【例19】 如图二次函数的图象经过三点． （1）观察图象，写出三点的坐标，并求出抛物线解析式； （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）观察图象，当取何值时，. 【例20】 如图，直线和抛物线都经过点． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）求不等式的解集．（直接写出答案） 【例21】 如图，抛物线与轴交于和两点，交轴于点． （1）求此抛物线的解析式． （2）若直线与抛物线交于两点，与轴交于点，连接，求的面积． 【随堂