第二十二章 第1讲 二次函数的图像与性质 讲义 2023-2024学年人教版数学九年级上册

第1讲　二次函数的图像与性质 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 二次函数的概念 二次函数的概念 √ 二次函数的图象与性质 二次函数的图象 √ 二次函数的性质 √ 【知识框架】 二次函数的概念 二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 的图象与性质 的图象与性质   的图象与性质   模块1　二次函数的概念 【知识精讲】 1、 二次函数的概念： 1. 二次函数的定义：一般地，形如 （为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数． 2． 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【经典例题】 【例1】 判断下列函数是不是二次函数．如果不是，请说出为什么？ ⑴； ⑵； ⑶(是常数)； ⑷； ⑸； ⑹（是常数，）； ⑺（为常数）； ⑻ 【例2】 已知函数，当是什么数时，函数是二次函数？ 【例3】 已知函数 ① 当，，是怎样的数时，它是一次函数？ ② 当，，是怎样的数时，它是正比例函数？ ③ 当，，是怎样的数时，它是二次函数？ 【例4】 二次函数的函数值是，那么对应的的值是（ ） A． B． C． D． 【例5】 若是二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D． 【例6】 已知方程（为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为____________；成立的条件是____________；是___________函数． 【例7】 已知：函数是二次函数． （1）求的值； （2）写出这个二次函数图象的对称轴：____________；顶点坐标是____________； （3）求图象与轴的交点坐标． 模块2　二次函数的图像与性质 【知识精讲】 1、 的图象与性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2、 的图象与性质 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 3、 的图象与性质 1． 的图象及性质： 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最大值． 2． 二次函数图象的画法： （1）五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点， （若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）． （2）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点． 【经典例题】 【例8】 （1）在同一直角坐标系下，画出二次函数和的图象． （2）在同一直角坐标系下，画出二次函数和的图象． 【例9】 画出下列函数的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值． （1）；（2）；（3） 【例10】 ⑴ 若二次函数有最大值，则________． ⑵ 若二次函数有最小值，则________． … … … … 【例11】 （1）已知二次函数中，与的部分对应值如下表： （1）求当为何值时，有最小值或最大值，最值是多少？ （2）已知抛物线有最大值，求抛物线的解析式？ （3）已知：二次函数和分别有最大值、最小值，则和的图像有 个交点． 【例12】 设抛物线为，根据下列各条件，求的值． ⑴ 抛物线的顶点在轴上； ⑵ 抛物线的顶点在轴上； ⑶ 抛物线经过点； ⑷ 抛物线经过原点； ⑸ 当时，有最小值； ⑹ 的最小值为． 【例13】 ⑴ 求函数的最小值是 ． ⑵ 若，求的最大值、最小值； ⑶ 若，求的最大值、最小值； ⑷ 若，求的最大值、最小值． 【例14】 抛物线的对称轴为，函数的最小值是，求实数，的值． 【例15】 设，