第二十一章 第3讲 判别式及根与系数的关系 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教版数学九年级上册

第3讲　判别式及根与系数的关系 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 一元二次方程 一元二次方程根的判别式 √ 一元二次方程根与系数关系 √ 【知识框架】 一元二次方程根的判别式 一元二次方程 一元二次方程根与系数关系   模块1　根的判别式 【知识精讲】 一元二次方程根的判别式的定义 运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：． 也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式． 二、判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定． 设一元二次方程为，其根的判别式为：则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 说明： ⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，． ⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根． 三、一元二次方程的根的判别式的应用 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 【经典例题】 【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴；⑵（） 【例2】 不解方程，判别一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【例3】 已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的负实数根 D．不一定有实数根 【例4】 已知：方程没有实数根，且，求证：有两个实数根． 【例5】 对任意实数，求证：关于的方程无实数根． 【例6】 求证：关于的一元二次方程有两个实数根． 【例7】 已知关于的方程①有两个相等的实数根． 求证：关于的一元二次方程②必有两个相等的实数根． 【例8】 当、为何值时，方程有实根？ 【例9】 如果方程只有一个实数根，那么方程（ ）． A．没有实数根 B．有个不同的实数根 C．有个相等的实数根 D．实数根的个数不能确定 【例10】 为何值时关于的一元二次方程：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根． 【例11】 已知方程有实数根，求的范围． 【例12】 关于的方程有实数根，则整数的最大值是 ． 【例13】 若方程有实数根，求：正整数． 【例14】 已知关于的方程有两个相等的实数根，且、为实数，则________． 【例15】 已知关于的方程有两个不相等的实数根． ⑴求的取值范围； ⑵是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【例16】 已知关于的方程有两个不相等的实数根． ⑴求的取值范围； ⑵若为整数，且，是上述方程的一个根，求代数式的值． 【例17】 三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ． 【例18】 已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【例19】 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则以，，为三边的三角形的形状是______． 【例20】 已知、、是的三边，其中，，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 模块2　根与系数的关系 【知识精讲】 一、韦达定理 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，． 二、韦达定理与根的符号关系 在的条件下，我们有如下结论： 1 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若， 则此方程的正根小于负根的绝对值． ⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是： 若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． 三、韦达定理的应用 ⑴已知方程的一个根，求另一个根以及