第二十一章 第2讲 一元二次方程的解法 讲义 (知识精讲+典题精练)2023—2024学年人教版数学九年级上册

第2讲　一元二次方程的解法 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 一元二次方程的解法 因式分解法 √ 可化为一元二次方程的分式方程的解法 √ 含字母系数的二次方程的解法 √ 【知识框架】 因式分解法 一元二次方程的解法 含字母系数的二次方程的解法   可化为一元二次方程的分式方程的解法 模块1　因式分解法 【知识精讲】 1、 因式分解法 因式分解法：当一元二次方程的一边是，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或； 因式分解法的条件：方程左边易于分解，右边等于 因式分解法的一般步骤： 将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解 注意：因式分解法适用于右边为（或可化为），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法.另外，用因式分解法要求对因式分解的方法比较熟练，如提公因式法，分组分解法，公式法，十字相乘法等. 【经典例题】 【例1】 用因式分解法解方程： 【例2】 用因式分解法解方程：，（、为常数） 【例3】 用因式分解法解方程： 【例4】 用因式分解法解方程： 【例5】 用因式分解法解方程： 【例6】 用因式分解法解方程： 【例7】 若代数式与的值互为相反数，则的值为多少？ 【例8】 解方程： 【例9】 解方程： 【例10】 解方程： 【例11】 解关于的方程： 模块2　可化为一元二次方程的分式方程的解法 【知识精讲】 1、 可化为一元二次方程的分式方程的解法 1．解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程． 2．解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法． 3．用去分母法解分式方程的具体步骤是： (1)把方程两边都乘以最简公分母，约去分母； (2)解所得的整式方程； (3)验根． 4．用换元法解分式方程的具体步骤是： (1)观察、分析方程的特点，探索换元的途径； (2)设辅助未知数； (3)用辅助未知数的代数式表示原方程中另外含有未知数的式子，把原方程化为只含有辅助未知数的方程； (4)解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值； (5)把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值； (6)验根，作答． 【经典例题】 【例12】 解方程： 【例13】 解方程： 【例14】 解方程： 【例15】 方程的解为（ ） . . . . 或 【例16】 方程实数根的个数是（ ） . . . 以上都不对 【例17】 若分式方程有解，则的取值范围是（ ） . . . 且 . 且 【例18】 解方程 【例19】 解方程： 【例20】 解方程： 模块3　含字母系数的二次方程的解法 【知识精讲】 一、含字母系数的二次方程的解法 .解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定、、和的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意： (1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程； (2)不要把一元二次方程一般形式中的、、与方程中字母系数的、、相混淆； (3)在开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能 注意：解含字母系数的二次方程时，如果题目只说是解关于“”的方程，那么一定要分类讨论：（1）二次项系数等于零，可能是一元一次方程；（2）二次项系数不等于零，是一元二次方程. 如果题目明确说明是解关于“”的一元二次方程，则需要注意隐含条件：二次项的系数不为零 【经典例题】 【例21】 解方程： 【例22】 解关于的方程： 【例23】 解关于的方程： 【例24】 已知关于的一元二次方程有实根，求的取值范围 【例25】 已知关于的方程，当为何值时，方程有实数根？ 【例26】 解关于的方程： 【例27】 解关于的方程： 【例28】 解关于的方程 【随堂练习】 【习题1】 的解是（ ） . . .， . 【习题2】 若，则的值为__________ 【习题3】 解下列方程： （1） （2） （3） （4