第二十一章 第1讲 一元二次方程的概念及解法 讲义2023-2024学年人教版数学九年级上册

第1讲　一元二次方程的概念及解法 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 一元二次方程的概念 一元二次方程的概念 √ 一元二次方程的解法 直接开平方法 √ 配方法 √ 公式法 √ 【知识框架】 一元二次方程的概念 一元二次方程 直接开平方法 配方法   公式法   一元二次方程的解法 模块1　一元二次方程的概念 【知识精讲】 一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项． ⑴ 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1 一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． 2 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． 3 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是． ⑵ 任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式． 要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程． ⑶ 关于的一元二次方程式的项与各项的系数． 为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项． 二、一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 【经典例题】 【例1】 方程的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______ 【例2】 若方程是一元二次方程，则的取值范围是__________ 【例3】 若关于的方程是一元二次方程，则__________ 【例4】 为何值时，关于的方程是一元二次方程 【例5】 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围 【例6】 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围 【例7】 关于的方程，当__________时是一元一次方程；当__________时是一元二次方程 【例8】 若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________ 【例9】 若是关于的一元二次方程，求、的值 模块2　直接开平方法 【知识精讲】 1、 直接开平方法 若，则叫做的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 二、 直接开平方法的基本类型 1. 直接开平方法 ① 解为： ② 解为： ③ 解为： ④ 解为： 【经典例题】 【例10】 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1） （2） （3） （4） 【例11】 解关于的方程 【例12】 解关于的方程： 【例13】 解关于的方程： 【例14】 解关于的方程： 【例15】 解关于的方程： 【例16】 解关于的方程： 模块3　配方法 【知识精讲】 1、 配方法 配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法 二、配方法的一般步骤 解形如的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化 ②常数项右移 ③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方） ④化成的形式． ⑤若，选用直接开平方法得出方程的解． 注意：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解 【经典例题】 【例17】 用配方法解方程： 【例18】 用配方法解方程： 【例19】 用配方法解方程： 【例20】 用配方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【例21】 用配方法解方程：（、、为常数且） 【例22】 用配方法解关于的方程（为已知常数） 【例23】 试用配方法说明的值恒大于 【例24】 已知、为实数，求代数式的最小值 【例25】 已知，、为实数，求的值 模块4　公式法 【知识精讲】 1、 公式法 公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为： 根的判别式，是方程的两根，若，则 二、公式法解一元二次方程的一般步骤 公式法解方程的步骤： ①把方程化为一般形式 ②确定、、的值． ③计算的值． ④若，则代入公式求方程的根． ⑤若，则方程无解． 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用；在用公式法求解方程的解时，一定要判断“”的取值范围，只有当时，方程才有实数解 【经典例题】 【例26】 解方程 【例27】 用公式法解方