第1讲　全等三角形 （一）2023-2024学年人教版八年级数学上册

第1讲　全等三角形（一） 【中考考纲】 考点 课标要求 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 全等三角形 全等三角形的概念 √ 全等三角形的性质 √ 全等三角形的判定 √ 全等三角形的应用 √ 角平分线 角平分线的作法 √ 角平分线的性质与判定 √ 【知识框架】 模块1　全等三角形 【知识精讲】 1、 全等的概念 1. 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 2. 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的四边形，记作：四边形≌四边形．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． 3. 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 4. 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 5. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： 1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． 2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． 3) 有公共边的，公共边常是对应边． 4) 有公共角的，公共角常是对应角． 5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 2、 全等的性质和判定 1. 全等三角形的判定方法： 1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． 4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 2. 全等三角形的应用： 1) 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 2) 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 3、 角平分线的性质 1) 角平分线上的点到角两边的距离相等； 2) 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 4、 三角形的内心 利用角的平分线定理可以推导出：三角形三个内角的平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等． 【经典例题】 题型一、全等三角形的性质 【例1】 如图，已知，指出对应角和对应边． 【例2】 已知，那么（ ） A． B． C． D． 【例3】 如图，图中有两个三角形全等，且与是对应边，则下列书写最规范的是（ ） A． B． C． D． 【例4】 如图，，，，求的度数． 【例5】 如图，，，，求的度数与的长． 【例6】 已知，的周长为，则 ， = ， ． 【例7】 1、下列命题中正确的是（ ） A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等 【例8】 将五边形纸片按如图所示方式折叠，折痕为，点、分别落在、上，已知，则等于（ ） A．31° B．28° C．24° D．22° 【例9】 将一张长方形纸片按如图4所示的方式折叠，为折痕，则的度数为（ ） A．60° B．75° C．90° D．95° 【例10】 如果，的周长为13，，，则的长（ ） A．13 B．3 C．4 D．6 【例11】 如图所示中的4×4的正方形网格中， （ ） A．245° B．300° C．315° D．330° 题型二、全等三角形的判定 【例12】 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ． 全等三