2024年辽宁省九年级中考数学冲刺专题——圆练习题（解答）课件

2024年辽宁省中考冲刺专题——圆练习题（解答） 1 1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，且AD=BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径，连接DE． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若 ， ，求AE的长． 【解析】(1)证明：∵AB=AC，AD=BD， ∴∠B=∠BAD，∠B=∠C， ∴∠C=∠E， 2 ∴∠E=∠BAD， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠E+∠DAE=90°， ∴∠BAD+∠DAE=90°， 即∠BAE=90°， ∴AE⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线； (2)解：作AH⊥BC，垂足为点H， 3 ____ ∵AB=AC， ∴BH=CH， ∵∠B=∠C=∠BAD， ∴△ABC∽△DBA， ∴ ， 即AB2=BD•BC， 4 又 ， ， ∴BH=4， ∴BC=2BH=8， 在Rt△ABH中，BH=CH=4， ∴AH= =2 ， ∵AD2=DH2+AH2， ∴AD2=(4-AD)2+(2 )2， ∴AD=3， ∵∠E=∠B，∠ADE=∠AHB， ∴△AED∽△ABH， 5 ∴ ， ∴AE= = =3 ． 6 2.如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C，D为⊙O上一点(点C，D在直径AB同侧)，点E在AB延长线上，且∠ACE=∠ADC，连接BC． (1)求证：∠BCE=∠CAB； (2)若CE=8，tanE= ，求AE的长． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵∠ABC+∠CBE=180°， ∴∠ADC=∠CBE， ∵∠ACE=∠ADC， 7 ∴∠ACE=∠CBE， ∵∠CBE是△ABC的一个外角， ∴∠CBE=∠ACB+∠CAB， ∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠CAB， ∴∠BCE=∠CAB； (2)解：连接OC， ____ ∵AB为⊙O的直径， 8 ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∵∠BCE=∠CAB， ∴∠BCE=∠ACO， ∴∠BCE+∠OCB=90°， ∴∠OCE=90°， 在Rt△OCE中，CE=8，tanE= ， ∴OC=CE•tanE=8× =4， 9 ∴OE= = =4 ， ∵AO=OC=4， ∴AE=AO+OC=4+4 ， ∴AE的长为4+4 ． 10 3. ，如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为 E． (1)求证：△DBE∽△ABC； (2)若AF=2，求ED的长． 【解析】(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵BE⊥CD， ∴∠DEB=90° 11 ∴∠ACB=∠DEB， ∵ = ， ∴∠CAB=∠D， ∴△DBE∽△ABC； (2)解：如图，过点C做CG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，AC= ，BC=2 ， ∴AB= = =5， 12 cos∠BAC= ， ∵CG⊥AB， ∴AG=AC⋅cos∠BAC = × =1， ∵AF=2， ∴FG=AG=1， ∴AC=FC， ∴∠CAF=∠CFA， 13 ∴∠BFD=∠D， ∴BD=BF =AB−AF =5−2 =3， ∵△DBE∽△ABC， ∴ ， ∴ = ， ∴ED= ． 14 4.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E． (1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数； (2)若OB=2，BD=1，求CE的长． 【解析】解：(1)∵AE⊥CD于点E， ∴∠AEC=90° ∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°； (2)∵CD是⊙O的切线， ∴半径OC⊥DE， 15 ∴∠OCD=90°， ∵OC=OB=2，BD=1， ∴OD=OB+BD=3， ∴CD= = ． ∵∠OCD=∠AEC=90°， ∴OC∥AE， ∴ ， ∴ ， 16 ∴CE= ． 17 5.如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F． (1)求证：AB=AC； (2)若AE=3，DE=6，求AF的长． 【解析】(1)证明：连接OD， ∵DE是⊙O的切线， ∴半径OD⊥DE， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， 18 ∴∠C=∠ODB， ∵OD=OB， ∴∠B=∠ODB， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC； (2)解：连接DF，DA， ∵∠F=∠B，∠B=∠C， ∴∠F=∠C， ∴DF=DC， ∵DE⊥CF， ∴FE=EC， 19 ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADC