专题1-8 内切球，外接球，构造球，立体几何多选压轴- 2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习核心题型突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一下学期期中期末复习核心题型突破 专题1-8 内切球，外接球，构造球，立体几何多选压轴 总览 题型解读 【题型1】几何体的内切球常考模型（正四面体，普通棱锥，圆台，双球内切） 1 【题型2】五类外接球常考题型（涵盖90%高一题目） 3 【题型3】圆弧形轨迹（构造球） 9 【题型4】立体几何中的面积或体积最值问题 11 【题型5】立体几何综合专练（多选压轴） 12 【题型1】几何体的内切球常考模型（正四面体，等体积法，圆台，双球内切） 同为球的组合体，外接球太热而内切球过冷，但学习过程中不应该趋热避冷，还是得雨露均沾，万一考出来了呢，最近一次考内切球是2020年全国三卷，这说明内切球问题也是命题库中的备选之一 关于内切球，对于锥题而言，通法是等体积法，当然，特殊的正棱锥可以有轴截面处理，正四面体则有公式可以记忆，除此之外还可以考虑结合相似三角形求半径 一、正四面体常用二级结论 在棱长为a的正四面体中 结论1：高，结论2：外切球半径，结论3：内切球半径，结论4：体积 二、正棱锥的内切球 如图，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 三、等体积法（通法） 若三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 1． 正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ） A． B． C． D． 2． 如图，若圆台的上、下底面半径分别为且，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为 . 3． 已知一半径为2和一半径为1的两球上下故在一个圆锥内部，则该圆锥表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2023高一下·湖北武汉·期末）一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 . 【题型2】五类外接球常考题型（涵盖90%高一题目） 一．求空间多面体的外接球半径的常用方法： 1 补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解。能补充长方体的有：墙角结构，3组对棱相等，3条棱俩俩垂直，以及九章算术中的所有几何体 2 利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可 二．求空间多面体的外接球半径的常考模型 类型一、补成长方体 （1）墙角模型 长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 （2）对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 类型二、有一条侧棱垂直底面垂面（考得比较多） 题设：如图，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面） 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 类型三、正棱锥，圆锥模型 题设：如图这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 类型四、两直角三角