2024年中考数学一轮复习 课件 第21节　矩形、菱形与正方形

第21节　矩形、菱形与正方形 矩形的定义、性质和判定(常考点) 定义 有一个角是　 　的平行四边形是矩形  性质 四个角都是直角 对角线　 　且互相平分  矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它的对称中心是对角线的交点 判定 有一个角是　 　的平行四边形是矩形  有三个角是　 　的四边形是矩形  对角线　 　的平行四边形是矩形  直角 相等 直角 直角 相等 菱形的定义、性质和判定(常考点) 定义 有一组　 　相等的平行四边形是菱形  性质 菱形的四条边　   菱形的对角线互相　 　,并且每一条对角线　 　一组对角  菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线,对称中心是对角线的交点. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 判定 有一组邻边　 　的平行四边形是菱形  四边　 　的四边形是菱形  对角线互相　 　的平行四边形是菱形  邻边 相等 垂直 平分 相等 相等 垂直 正方形的定义、性质和判定(常考点) 定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 性质 四个角都是直角,四条边都相等 两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组 对角 正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有4条对称轴,对称中心是对角线的交点 判定 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等且垂直的平行四边形是正方形 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系: 中点四边形 1.任意四边形的中点四边形一定是　 　,对角线　 　的四边形的中点四边形是菱形,对角线　 的四边形的中点四边形是矩形,对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是　 　.  2.中点四边形的面积等于原四边形面积的　 　.  平行四边形 相等 互相垂直 正方形 一半 矩形的性质和判定 [典例1] (2023乐山)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连结EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (1)先证四边形ECFD为平行四边形,即可求解; (1)证明:∵FD∥CA,BC∥DE, ∴四边形ECFD为平行四边形. 又∵∠C=90°, ∴平行四边形ECFD为矩形. (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. (2)由勾股定理可求EF的长,由面积法可求解. 判定矩形的思路 (1)利用直角判定矩形的思路: ①任意四边形+三个直角⇒矩形; ②平行四边形+一个直角⇒矩形. (2)利用对角线判定矩形的思路: 平行四边形+对角线相等⇒矩形. [变式1] (2023台州)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为F,则BF的长为　 　.  [变式2] (2023新疆)如图所示,AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO= 90°,OB=OC,点E,F分别是AO,DO的中点. (1)求证:OE=OF; (2)当∠A=30°时,求证:四边形BECF是矩形. 菱形的性质和判定 [典例2] (2023嘉兴)如图所示,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连结EF. (1)求证:AE=AF; (1)欲证明AE=AF,只需要证得△ABE≌△ADF即可; (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数. (2)根据菱形的邻角互补和全等三角形的性质进行推理解答. (2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°. 而∠B=60°,∴∠BAD=120°. 又∵∠AEB=90°,∠B=60°, ∴∠BAE=30°. 由(1)知△ABE≌△ADF, ∴∠BAE=∠DAF=30°, ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°, ∴△AEF是等边三角形, ∴∠AEF=60°. 判定菱形的思路 (1)利用边判定菱形的思路: ①平行四边形+一组邻边相等⇒菱形; ②四边形+四条边相等⇒菱形. (2)利用对角线判定菱形的思路: 平行四边形+对角线互相垂直⇒菱形. [变式3] (2023武威)如图所示,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,BE⊥AB, DF⊥CD,垂足分别为B,D.若AB=6 cm,则EF=　 　cm.  [变式4] (2023云南)如图所示,在平行四边形ABCD中,AE,C