2.2.1基本不等式 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第1课时）教学设计 一、单元教学计划 一.单元内容及其解析 1.内容 本单元共2课时，第1课时的主要内容是基本不等式的定义与几何解释，第2课时的主要内容是用基本不等式解决简单的最值问题. 　　2.内容解析 相等关系与不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程和不等式的基础,基本不等式是不等关系中一种特殊、重要且基本的表现形式,有多种有意义的变式,可以联系很多领域,在数学内外都有广泛的应用,是非常重要且基本的内容,它可以作为不等式理论的基本定理,成为支撑其他许多重要结果的基石,是解决许多最值问题的工具. 基本不等式的刻画了两个正数在运算中出现的大小关系的变化规律,是“运算中的不变性和规律性”,是不等式性质的一个特例.从代数角度来看,基本不等式在完全平方公式的基础上进行代数变形而成，正好也体现了代数学中数系结构和各种公式的构造特点(逐步归纳、复合构造),学生从中体会到构造新公式的手段和方法.从几何角度来看,基本不等式刻画了“周长相等的矩形中,正方形的面积最大”“等圆中,弦长不大于直径”等现象,它们既是基本不等式在几何基本图形中的体现,也是基本不等式的直观解释.从数列的角度来看,基本不等式描述了两个正数的等差中项、等比中项及其关系,这也是不等式的一个代数模型解释,只是要随着学生学习的深入不断补充、完善. 基本不等式，“基本”在哪里呢？我们可以从以下几个方面加以考虑.首先，根据上述基本不等式的实质，几乎所有不等式的证明都可化归为基本不等式，几乎所有著名不等式（如柯西不等式、赫尔德不等式、三角形不等式、闵可夫斯基不等式等）都是由基本不等式演绎来的，也可派生出一批新的不等式；其次，基本不等式在现实生活中具有广泛的应用，尤其是在物理学或工程学问题中.本单元是在前面学习了不等式和不等式性质的基础上，展开了对一种具体的不等式——基本不等式的研究．通过本单元的学习，学生能够进一步体会“代数”学习的核心在于运算，而运算的核心在于运算律. 基本不等式不但是描述不等关系的一个公式,更是一个可以求解最值的数学模型,应用时“一正、二定、三相等”虽是解题的套路,但更多渗透模型的理解和识别,在这过程中涉及变与不变、变量与常量、转化与化归等,对学生的数学运算、逻辑推理、数学建模等素养有促进作用。 二.单元目标和目标解析 1.目标 掌握基本不等式．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 2.目标解析 达成上述目标的标志是: (1)能将重要不等式进行变形获得基本不等式;知道基本不等式的结构特点,其实质就是“两个正数的算术平均数与几何平均数的关系”;会用不等式的性质采用“分析法”的证明思路和“综合法”的表达形式对其证明;能借助“圆中弦长与直径的关系”的几何模型进行几何解释. (2)能通过具体实例,把基本不等式作为公式,归纳出其使用条件和注意事项,把基本不等式作为一种数学模型,理解和识别实际问题并求其最大值或最小值.在实际问题的解决过程中，感受基本不等式的作用和力量,发展逻辑推理、数学运算、数学建模等素养. 三.单元教学问题诊断分析 1.问题诊断 本单元知识作为不等式性质的应用,介绍一类特殊的不等关系:基本不等式.虽然学生初中已积累过完全平方和等代数公式的学习经验,但基本不等式描述的是不等关系,模型意识更强,对数学运算和数学建模素养要求更高,学生会存在比较多的困难. (1)如何探索基本不等式?教材将重要不等式进行替换获得基本不等式,看似简单的代数变形,推理和运算能力要求也不高,但学生就是想不到.教学中要注意引导学生的符号意识,类比以前完全平方和等代数公式的学习经验,领会到基本不等式其实是重要不等式的一个特例,降低学生对问题的恐惧感和陌生感,这样能更好地认识基本不等式的结构特点. (2)如何证明基本不等式?学生可能先会想到“作差法”,易操作好实施,但教材体现基本不等式是一种特殊的不等关系,为培养学生对不等式性质的运用,也为高中阶段的推理证明提供更丰富的策略,采用了分析法对其进行推理证明.对分析法这种“执果求因”的证明思路,学生在初中平面几何知识的证明等知识学习中有所体会,但对分析法的书写表达和为什么可以这样证明却是第一次见识.教学中教师要注意做好书写示范,从充分条件的角度对其原理和过程进行解剖,使学生获得这种推理证明的经验. (3)如何进行几何解释?前面从赵爽弦图抽象出重要不等式，是已知图形直观获得不等式,但现在却是已知不等式求其几何解释,呈现顺序的不同,会成为学生思维的一个难点.教学中,教师要多引导学生构造几何模型,若学生确实不会构造,教师抛出几何模型学生解释即可,同时借助信息技术,学生能更深刻体会基本不等式所蕴含的“等”与“不等”的关系. (4)如何用基本不等式求最值?基本不等式的