7.4.2 超几何分布-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第三册)

人教A版2019选修第三册 第七 章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 7.4.2 超几何分布 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值； 2.能用超几何分布解决简单的实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的均值； 3.了解超几何分布与二项分布之间的联系与区别． 教学目标 01 温故知新 PART.01 温故知新 1.二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B(n，p) 若X～B(n, p)，则有 2.二项分布的均值与方差： 超几何分布 PART.02 问题提出 前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型---二项分布与超几何分布. 概念讲解 问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 思考1：采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布？ 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). 概念讲解 思考2：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布. 概念讲解 可以根据古典概型求的分布列.由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任选4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识，得的分布列为 计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示. 2 3 4 概念讲解 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品. 从件产品中不放回地随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 . 其中,,，，，. 若随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从超几何分布. 定义 注意：(1)事件“由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”； (2)不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”； 概念讲解 公式中个字母的含义 N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 概念辨析 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样.( ) × （2）从4名男演员和3名女演员中随机选出4名演员，其中所选女演员的人数 <m></m> 服从超几何分布.( ) √ （3）在超几何分布中，只要知道 <m></m> ， <m></m> 和 <m></m> ，就可以根据公式，求出 <m></m> 取不同值 <m></m> 时的概率 <m></m> .( ) √ 概念辨析 A 例题剖析 例1.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解：设表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则服从超几何分布，且，，. 因此甲被选中的概率为. 容易发现，每个人被抽到的概率都是. 这个结论非常直观，这里给出了严格的推导. 例题剖析 练习：从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率. 解：设X表示摸出的5个球中红球的个数， 则X服从超几何分布，且N=25，M=10，n=5. ∴恰好的7分的概率即为摸出2个红球的概率，为 例题剖析 例2.一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且， ，. 的分布列为 至少有1件不合格的概率为 方法一：. 方法二： 超几何分布的均值 PART.03 概念讲解 问题2：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，我们猜想，即. 实际上，令，，由随机变量均值的定义：当时，.(1) 因为，所以. 当时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. 概念讲解 超几何分布的均值 . 如果随机变量X的分布列具有上