精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

2023级高一学年下学期4月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：胡俊英 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量且，则 A. B. C. D. 3. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C D. 4. 如图，在边长为2等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在矩形ABCD中，，，E是CD上一点，且，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 在矩形中，，.点是矩形所在平面内一点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知单位圆是的外接圆，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．已知在中，，，，则的九点圆的半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 10. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆的半径为 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，复数，其中为虚数单位，若为纯虚数，则_____. 13. 已知向量，，满足，，，，则与的夹角为____________. 14. 法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对而言，若其内部的点P满足，则称P为的费马点．如图所示，在中，已知，设P为的费马点，且满足．则的外接圆直径长为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量满足. （1）若 ，求向量的坐标； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． （1）求的面积； （2）求边长及的值． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求周长最大值． 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线长. 19. 如图，在平面凸四边形中，为边的中点． （1）若，求面积； （2）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高一学年下学期4月份月考 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：胡俊英 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的坐标表示及共轭复数概念可得答案. 【详解】由题，，故， 故选：D 2. 已知向量且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长. 详解：因为，所以，即； 所以； 所以. 点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力. 解决本题关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示； 熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算. 3. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 4. 如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选择基向量则，，将相关向量用表示，计算它们的数量积即