2024届高考最新模拟考压轴题汇编-数列新定义篇

2024届高考最新模拟考压轴题汇编--数列新定义篇 2024届高考最新模拟考压轴题汇编--数列新定义篇 1．（2024·河南信阳·模拟预测）若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质. (1)已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质； (2)若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质； (3)记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由. 2．（2024·湖南·一模）已知为非零常数，，若对，则称数列为数列． (1)证明：数列是递增数列，但不是等比数列； (2)设，若为数列，证明：； (3)若为数列，证明：，使得． 3．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 4．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为． (1)试求，，，的值； (2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系； (3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言： ①准备两个不同的、足够大的素数p，q； ②计算，欧拉函数； ③求正整数k，使得kq除以的余数是1； ④其中称为公钥，称为私钥． 已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和． 5．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质． (1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B； (2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：； (3)若满足，证明：． 6．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”． (1)若，，求； (2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7． 7．（2024·北京东城·一模）有穷数列中，令， (1)已知数列，写出所有的有序数对，且，使得； (2)已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值； (3)已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：. 8．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中. (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由. 9．（2024·浙江温州·二模）数列满足：是等比数列，，且． (1)求； (2)求集合中所有元素的和； (3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由． 10．（2024·湖南岳阳·二模）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”． (1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”； (2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由； (3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”； （ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个． 11．（2024·北京海淀·一模）已知：为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有.设，对于，定义，其中，表示数集M中最小的数. (1)若，写出的值； (2)若存在满足：，求的最小值； (3)当时，证明：对所有. 12．（2024·北京西城·一模）对正整数，设数列.是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合或中元素的个数为． (1)若，求的值； (2)若对任意中都恰有行满足第列