主题3 第6章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第2节　平面向量的基本定理及坐标表示 ★[课程标准] 1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量的基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个　不共线　的向量，那么对该平面内的　任意一个　向量a，　存在唯一　的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基：把　不共线　的向量e1，e2叫作表示这一平面内　所有　向量的一组基，记作{e1，e2}． (3)正交基：若基中的两个向量　互相垂直　，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的　单位向量　，则称这组基为标准正交基． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　，a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　，λa＝　(λx1，λy1)　，|a|＝　　. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝　(x2－x1，y2－y1)　， ||＝　　. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔　x1y2－x2y1＝0　. 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为 . ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基．(　　) (2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　) (3)同一向量在不同基下的表示是相同的．(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成 ＝.(　　) (5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(多选)在下列各组向量中，不可以作为基的是(　　) A．e1＝(0, 0)，e2＝(1, －2) B．e1＝(－1, 2)，e2＝(5, 7) C．e1＝(3, 5)，e2＝(6, 10) D．e1＝(2, －3)，e2＝ 答案：ACD 2．(共线的条件不清致误)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则＝是a∥b的________条件(　　) A．充要　　　　　　　 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 解析：C　[若＝，则x1y2－x2y1＝0，∴a∥b，若a∥b，有可能x2或y2为0.] 3．若P1(1,3)，P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　) A．(2,2) B．(3，－1) C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1) 解析：D　[由题意得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2,2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3,1)．] 4．(BSD必修第二册P100习题2－4B组T1改编)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________. 解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)， 得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－. 答案：－ 5．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基，则a＝　________　(b，c线性表示)． 解析：设a＝λ1b＋λ2c， 则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2， ∴解得 ∴a＝－b＋c. 答案：－b＋c 　 　　平面向量基本定理的应用 [典例]　(1)(多选)(2024·济南市第一中学月考)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基的向量组是(　　) A.与　　　　　 B.与 C.与 D.与 [解析]　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基，如图： 对于A，与不共线，可作为基；对于B，与为共线向量，不可作为基；对于C，与是两个不共线的向量，可作为基；对于D，与在同一直线上，是共线向量，不可作为基． [答案]　AC (2)(2024·重庆八中模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，＝2，DE与BF相交于O.若AD＝2，·(3－2)＝－7，则AB的长为(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 [解析]　在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，＝2，DE与BF相交于O. 设＝λ(0＜λ＜1)，＝μ(0＜μ＜1) ， 则＋＝＋λ ＝＋λ＝＋λ， ＋＝＋μ＝＋μ ＝＋μ， 由＝＋＝＋，可得＋μ＝＋λ， 则解之得 则＝＋＝＋， 则·(3－2)＝· (3－2)＝||2－||2＝－7， 又AD＝2，则9－||2＝－7，解之得||＝4，即AB的长为4. [答案]　C 平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基，并运用该基将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________． 解析：因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝. 即P为AB的一个三等分点(靠近A点)， 又因为A，M，Q三点共线，设＝λ. 所以＝－＝λ－ ＝λ－＝＋， 又＝t＝t(－)＝t ＝－t. 故解得故t的值是. 答案： 　 　　平面向量的坐标运算 1．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[因为a＝(3,1)，b＝(2,2)， 所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)， 则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2， 所以cos〈a＋b，a－b〉＝ ＝＝.] 2．(2024·江苏模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C. D．2 解析：B　[在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令|AB|＝2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，＝(2,2)，＝(2,1)， ＝(－2,2)， λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)， 因＝λ＋μ， 于是得解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝，所以λ＋μ的值为.] 3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)法一：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c， 又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴ (3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 　 　　平面向量共线的坐标表示 ►[命题点1]　由坐标判断是否共线　 [典例1]　(多选)(2024·全国模拟)已知点A(4,6)，B，与向量平行的向量的坐标可以是(　　) A. B. C. D．(7,9) [解析]　由点A(4,6)，B，则＝， 选项A，－7×3－×＝0，所以A选项正确；选项B，－7×－×7＝0，所以B选项正确；选项C，－7×(－3)－×＝0，所以C选项正确；选项D，－7×9－×7≠0，所以选项D不正确． [答案]　ABC ►[命题点2]　利用向量共线求向量或点的坐标　 [典例2]　(1)(2024·全国模拟)已知M(－2,7)，N(6,1)，点P是线段MN上的点，且＝－，则P点的坐标为________． [解析] 设P点的坐标为(x，y)， 因为M(－2,7)，N(6,1)，所以＝(6－x,1－y)， ＝(－2－x,7－y)， 又＝－，所以6－x＝2＋x，且1－y＝y－7， 故x＝2，y＝4，即P点的坐标为(2,4)． [答案]　(2,4) (2)已知点A(－1,4)，B(2,6)，C(3,0)，则满足＋＋＝0的G的坐标为______． [解析]　设G的坐标为(x，y)，且A(－1,4)，B(2,6)，C(3,0)， 因为＋＋＝0，可得(－1－x,4－y)＋(2－x,6－y)＋(3－x，－y)＝(0,0)， 可得x＝＝，y＝＝，所以G的坐标为. [答案]　 ►[命题点3]　 利用向量共线求参数　 [典例3]　(2024·广东东莞市东方明珠学校模拟)已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值． [解]　(1)由a＝(1,0)，b＝(2,1)，可得ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， 因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，解得k＝－. (2)因为A，B，C三点共线，所以＝λ，λ∈R， 即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以解得m＝. 1．向量共线的两种表示形式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. 2．两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值． 1．(多选)(2024·广西河池模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B. C．1 D．－1 解析：ABD　[因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．] 2．(2024·山东省潍坊市高三期中)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； (2)若向量满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求向量d的坐标． 解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k), 2b－a＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝， ∴ 解得或 ∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$