主题3 第6章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第1节　平面向量的概念及线性运算 ★[课程标准] 1．了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 3．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 4．了解向量的线性运算性质及其几何意义． 1．与向量有关的概念 名称 定义 记法 向量 既有　大小　又有　方向　的量统称为向量. 向量a的大小，记作|a|.又称作向量的　模　 零向量 长度为　0　的向量称为零向量；任何方向都可以作为零向量的方向．规定零向量与任一向量　共线　；零向量的相反向量仍是　零向量　 0或 单位 向量 模等于　1个单位　长度的向量称为单位向量 相等 向量 长度　相等　且方向　相同　的向量 向量a与b相等，记作a＝b 共线向量(平行 向量) 若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量共线或平行 a与b平行或共线，记作 a∥b 相反 向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量；相反向量是共线向量 若其中一个向量为a，则它的相反向量记作－a 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做a与b的和 (1)交换律： a＋b＝　b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ 　a＋(b＋c)　 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝　|λ||a|　； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向　相同　；当λ<0时，λa的方向与a的方向　相反　；当λ＝0时，λa＝　0　 (1)结合律 λ(μa)＝(λμ)a； (2)分配律 (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 给定一个　非零　向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在　唯一　一个实数λ，使a＝λb. 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． 4.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(　　) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) (3)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　) (4)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．以下说法中正确的个数是(　　) ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③单位向量都是共线向量； ④零向量的长度为0，没有方向． A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 解析：B　[①错误，共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的；②正确；③错误，单位向量的定义只是模长定义的，方向有无数种情况；④错误，零向量也有方向，只是方向任意．] 2．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a 答案：ABD 3．(BSD必修第二册P85练习T2改编)化简： (1)(－)＋＋＝________； (2)＋＋＋＝________. 解析：(1)原式＝＋＋＋＝. (2)原式＝＋＝0. 答案：(1)　(2)0 4．(忽视向量的方向致误)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 解析：B　[因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．] 5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________． 解析：如图，因为＋＝，－＝， 所以||＝||.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形． 答案：矩形 　　　平面向量的基本概念 1．(2024·全国模拟)给出如下命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同． 其中正确的命题个数是(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．3 解析：C　[对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确； 对于②，向量a与b平行时，a或b为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确． 综上，正确的命题是①③.] 2．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________． 解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则∥且||＝||， 因此 ＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案：②③ 对于向量的概念应注意以下几条 (1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示； (2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量； (3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 　　　平面向量的线性运算 ►[命题点1]　向量的线性运算　 [典例1]　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n [解析]　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n. [答案]　B (2)(2024·河北石家庄二中模拟)数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点O，G，H分别为任意△ABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ [解析]　∵O，G，H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，∴＝，∴＝OH，＝，A错误，B错误； ＝＋＝＋＝＋(－)＝，C错误； ＝＋＝＋＝＋(－)＝，D正确． [答案]　D 向量的线性运算的解题策略 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 1．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则M点在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 解析：ACD　[对选项A，＝＋⇒－＝ －， 即＝，则点M是边BC的中点，所以选项A正确；对选项B，＝2－⇒－＝－∴＝，则点M在边CB的延长线上，所以选项B错误；对选项C，设BC中点D，则＝－－，＝－－＝＋＝2，由重心性质可知选项C正确；对选项D，＝x＋y且x＋y＝⇒2＝2x＋2y，2x＋2y＝1.设＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以选项D正确．] 2．(2024·山东潍坊模拟)在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：B　[如图所示，设＝m，＝n，且＝xa＋yb， 则＝xa＋yb ＝x·＋y· ＝n－m， 又因为＝n－m，所以解得x＝，y＝，所以＝a＋b.] ►[命题点2]　根据向量线性运算求参数　 [典例2]　(2024·全国模拟)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝＋m，则实数m的值为(　　) A. B. C. D. [解析]　由题意得：∵＝，∴＝4 ， ∵＝＋m，∴＝＋4m ， 设＝λ，则－＝λ(－)＝λ －λ，∴＝λ＋(1－λ)， 又由，不共线，∴解得 [答案]　D 求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 3．(2024·四川成都市期末)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[根据题图，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋. 因为＝r＋s，所以r＝，s＝， 则2r＋3s＝1＋2＝3.] 　 　　向量共线定理及其应用 [典例]　(1)(2024·云南昆明一中模拟)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D [解析]　因为＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b， 选项A，＝a＋2b，＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b，若A，B，D三点共线，则＝λ，即a＋2b＝λ(2a＋4b)，解得λ＝，故该选项正确； 选项B，＝a＋2b，＝－5a＋6b，若A，B，C三点共线，则＝λ，即a＋2b＝λ(－5a＋6b)，解得λ不存在，故该选项错误； 选项C，＝－5a＋6b，＝7a－2b，若B，C，D三点共线，则＝λ，即－5a＋6b＝λ(7a－2b)，解得λ不存在，故该选项错误； 选项D，＝＋＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＝－4a＋8b，＝7a－2b，若A，C，D三点共线，则＝λ，即－4a＋8b＝λ(7a－2b)，解得λ不存在，故该选项错误． [答案]　A (2)(2024·全国模拟)如图，在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N若＝λ，＝μ，(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的最小值为　________. [解析]　＝＋，＝＋，又＝2， ∴－＋＝2(－)，∴＝＋＝＋， 又P、M、N三点共线，∴＋＝1， ∴λ＋μ＝(λ＋μ)·＝＋≥1＋2＝1＋， 当且仅当＝，即λ＝，μ＝时取等， ∴λ＋μ的最小值为1＋. [答案]　1＋ 1．共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛． (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 2．证明三点共线的方法 若＝λ，则A，B，C三点共线． 1．(2024·山东泰安模拟)已知向量m，n不共线，向量＝5m－3n，＝xm＋n，若O，A，B三点共线，则x＝(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：A　[因为O，A，B三点共线，则∥， 所以∃λ∈R，＝λ，即xm＋n＝λ(5m－3n)， 整理得：(5λ－x)m＝(3λ＋1)n， 又∵向量m，n不共线，则5λ－x＝3λ＋1＝0， 则x＝－.] 2．(2024·全国模拟)已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求＋的值为________． 解析：根据条件：＝，＝， 如图，设D为BC的中点，则＝＋ 因为G是△ABC的重心，＝＝＋，∴＝＋， 又M，G，N三点共线，∴＋＝1，即＋＝3. 答案：3 学科网（北京）股份有限公司 $$