主题2 第5章 热点强化课5 数列中的构造问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

　　　　形如an＋1＝Aan＋B型构造问题 [例1]　(2024·山西师范大学实验中学)已知数列{an}满足2an＋1＝6an＋7，a1＝1，则an＝________. [解析]　由已知可得an＋1＝3an＋，设an＋1＋x＝3(an＋x)，则an＋1＝3an＋2x， 所以2x＝，可得x＝， 所以an＋1＋＝3，且a1＋＝， 由题意可知，对任意的n∈N＋，an＋≠0，则＝3， 所以数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为3， 所以an＋＝×3n－1，因此an＝×3n－1－. [答案]　×3n－1－ [例2]　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋2. (1)求an； (2)令bn＝n(an＋2)，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)由题意知，an＋1＋2＝2(an＋2)， 而a1＋2＝4， ∴{an＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2. (2)由(1)知，bn＝n(an＋2)＝n·2n＋1， ∴Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，则2Sn＝1×23＋2×24＋…＋(n－1)×2n＋1＋n×2n＋2， ∴－Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2＝(1－n)2n＋2－4， ∴Sn＝(n－1)2n＋2＋4. 形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数，pq≠0且p≠1)的递推式，可构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)，转化为等比数列求解．也可以与类比式an＝pan－1＋q作差，由an＋1－an＝p(an－an－1)，构造{an＋1－an}为等比数列，然后利用叠加法求通项． 　　　 形如an＋1＝pan＋f(n)(p≠1)型构造问题 ►[命题点1]　形如an＋1＝Aan＋Bn＋C型构造问题　 [例3]　(2024·全国模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋)．数列{bn}满足bn＝an－2n，则数列{bn}的通项公式为________． [解析]　∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)， ∴bn＋1＝3bn，且bn＝an－2n≠0，n∈N＋，则＝3，又b1＝a1－2＝－2＝， ∴数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列． ∴bn＝×3n－1＝3n－2. [答案]　bn＝3n－2 [例4]　数列{an}满足a1∈Z，an＋1＋an＝2n＋3，且其前n项和为Sn.若S13＝am，则正整数m＝(　　) A．99　　 B．103 C．107　　 D．198 [解析]　由an＋1＋an＝2n＋3，得an＋1－(n＋1)－1＝－(an－n－1)， ∴{an－n－1}为等比数列， ∴an－n－1＝(－1)n－1(a1－2)， ∴an＝(－1)n－1(a1－2)＋n＋1， am＝(－1)m－1(a1－2)＋m＋1， ∴S13＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a12＋a13)＝a1＋2×(2＋4＋…＋12)＋3×6＝a1＋102， ①m为奇数时，a1－2＋m＋1＝a1＋102，m＝103； ②m为偶数时，－(a1－2)＋m＋1＝a1＋102，m＝2a1＋99， ∵a1∈Z，m＝2a1＋99只能为奇数，∴m为偶数时，无解， 综上所述，m＝103. [答案]　B 当f(n)为一次函数类型时： 法一：设an＋An＋B＝p[an－1＋A(n－1)＋B]，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a1＋A＋B为首项，以p为公比的等比数列{an＋An＋B}，再利用等比数列的通项公式求出{an＋An＋B}的通项整理可得an. 法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an＋1＝pan＋f(n)，an＝pan－1＋f(n－1)两式相减得：an＋1－an＝p(an－an－1)＋d，令bn＝an＋1－an，得bn＝pbn－1＋d便可求出an. ►[命题点2]　形如an＋1＝pan＋dn型构造问题　 [例5]　(2024·全国高三专题练习)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝______. [解析]　∵an＝an－1＋n(n≥2)， ∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)， 即3nan－3n－1an－1＝1(n≥2)．又a1＝1,31·a1＝3， ∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴数列{an}的通项公式an＝. [答案]　 [例6]　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋4n，a1＝5.求数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝3an＋4n，所以an＋1－4n＋1＝3(an－4n)，又a1－4＝1， 所以{an－4n}是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以an－4n＝3n－1，所以an＝4n＋3n－1. 　　 形如an＋1＝pan＋dn(p≠0且p≠1，d≠1)的递推式，当p＝d时，两边同除以dn＋1转化为关于的等差数列；当p≠d时，两边可以同除以dn＋1，得＝·＋，转化为bn＋1＝·bn＋. 　　　　　　形如an－1－an＝pan－1an或an＋1＝型构造问题 [例7]　(2024·四川宜宾模拟)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且满足2anan＋1＝an－1(3an＋1－an)(n≥2)，则an＝________. [解析]　因为a1＝1，a2＝，2anan＋1＝an－1·(3an＋1－an)，显然an≠0，所以2anan＋1＝3an＋1an－1－an－1an，同除an－1anan＋1，得＝－，所以2＝－，所以＝2，所以是以2为首项、2为公比的等比数列，所以－＝2×2n－1＝2n，所以＝＋＋…＋＋＋＝2n－1＋2n－2＋…＋21＋1＝＝2n－1，所以an＝. [答案]　 [例8]　(2024·江苏南京模拟)已知数列{an}满足an＋1＝.若a1＝，则 ＝______；若a10＝，则a1＝________. [解析]　由an＋1＝，取倒数得＝＋2n＋1，即－＝2n＋1， 则当n≥2时， ＝＋＋＋…＋＝＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－4＋， 当n＝1时，上式也成立，于是得＝2n＋1－4＋， 当a1＝时，＝2n＋1－2，有＝22i＋1－2i＋1， 于是得 ＝ (22i＋1－2i＋1) ＝－22(25－1)＝2 604； 当n＝10时，＝211－4＋，即2 046＝2 044＋，所以a1＝. [答案]　2 604　 形如an－1－an＝pan－1an(p为常数且p≠0)的递推式：两边同除于an－1an，转化为＝＋p形式，化归为an＋1＝pan＋q型，求出的表达式，再求an； 还有形如an＋1＝的递推式，也可采用取倒数方法转化成＝·＋形式，化归为an＋1＝pan＋q型，求出的表达式，再求an. 　 　　　形如an＋2＝pan＋1＋qan型的构造问题 [例9]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则S10＝(　　) A. B. C．410－1 D．411－1 [解析]　因为an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝3≠0， 所以＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为3， 则数列{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为42＝16，首项为3. 所以S10＝＝. [答案]　A [例10]　(2024·八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； (2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式． [解]　(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an，可得an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an)， 因为各项都为正数，所以a1＋a2＞0， 所以{an＋an＋1}是公比为3的等比数列． (2)构造an＋2－3an＋1＝k(an＋1－3an)， 整理得an＋2＝(k＋3)an＋1－3kan， 所以k＝－1，即an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)， 所以an＋1－3an＝0⇒an＋1＝3an，所以{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列． 所以an＝(n∈N＋)． 　 形如an＋2＝pan＋1＋qan型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列{an－an－1}的形式求解．方法为：设an＋2－kan＋1＝h(an＋1－kan)，比较系数得h＋k＝p，－hk＝q，可解得h、k，于是{an＋1－kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an＋1＝pan＋q型． 形如an＋1＝pa型的构造问题 [例11]　已知数列{an}的首项为9，且an＝a＋2an－1(n≥2)，若bn＝＋，则数列{bn}的前n项和Sn＝________. [解析]　数列{an}的首项为9，且an＝a＋2an－1(n≥2)， 所以an＋1＝(an－1＋1)2，所以两边取对数得： lg(an＋1)＝2lg(an－1＋1)， 整理得＝2(常数)， 所以数列{lg(an＋1)}是以lg(9＋1)＝1为首项，2为公比的等比数列． 所以lg(an＋1)＝1×2n－1，故an＝， 由于an＝a＋2an－1，所以an＋1＝a＋2an， 故两边取倒数得＋＝－， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＋…＋＝－＝. [答案]　 [例12]　(2024·全国模拟)已知数列{an}满足a1＝1，＝，则a8＝________. [解析]　∵＝， ∴＝，2＋＋＝， 2＝＋2，设bn＝，则b1＝＝1，(bn＋2)2＝bn＋1＋2，两边取对数， 2lg(bn＋2)＝lg(bn＋1＋2)，＝2，所以lg(bn＋2)是首项lg(b1＋2)＝lg 3，公比q＝2的等比数列，∴lg(bn＋2)＝2n－1lg 3＝, ∴bn＝，∴an＝， ∴a8＝. [答案]　 在原递推式an＋1＝pa两边取对数得lg an＋1＝qlg an＋lg p，令bn＝lg an，得bn＋1＝qbn＋lg p，化归为an＋1＝pan＋q型，求出bn之后得an＝10bn(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)． 　　　不动点法 [例13]　(2024·全国模拟)已知数列的递推公式an＋1＝，且首项a1＝5，求数列{an}的通项公式． [解]　令an＋1＝an＝x.先求出数列的不动点x＝， 解得x1＝x2＝2.将不动点x1＝x2＝2代入递推公式，得an＋1－2＝－2， 整理得an＋1－2＝，＝， ∴＝＋1. 令bn＝，∴bn＋1＝bn＋1，b1＝＝. ∴数列{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列． ∴{bn}的通项公式为bn＝b1＋(n－1)·1＝n－. 将bn＝代入，得＝n－. ∴an＝＋2. [例14]　(2024·全国模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝，故an＋1－1＝且an＋1＋2＝， 故＝－，而＝4≠0，故≠0，故＝－2， 所以数列是以4为首项，以－2为公比的等比数列， 故＝4×(－2)n－1＝(－2)n＋1， 解得an＝. 首先令an＋1＝an＝x.代入所给递推关系，得到关于x的方程，根据方程求出数列的不动点，代入递推公式即可构造一个等差数列或等比数列进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$