主题2 第4章 热点强化课4 三角函数中有关ω的取值范围问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

已知含参数ω的函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式，三角函数的部分性质，求ω的取值范围，是近年来常考的一种类型题．由于其有时涉及到三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，难度较大，学生对这一类问题不得其解，从而心生畏惧心理．现就这一类问题进行归纳总结. 　 　　　利用单调性求ω最值范围问题 [例1]　已知ω＞0，函数f(x)＝sin在内单调递减，则ω的取值范围是(　　) A.　　　　　 B. C. D．(0,2] [解析]　法一：∵f(x)在区间上单调递减，∴ωx＋∈， 所以(k∈Z)，解得4k＋≤ω≤＋2k(k∈Z)， 又∵ω＞0，所以令k＝0，所以≤ω≤. 法二：∵f(x)在区间上单调递减，ω＞0， ∴＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ(k∈Z)， ∴≤x≤(k∈Z)， 依题意得令k＝0， ∴，解得≤ω≤. [答案]　A [例2]　(2024·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值不可能是(　　) A. B．4 C. D. [解析]　由已知，cos ＝0，则ω·＝＋kπ，k∈Z，即ω＝＋k，k∈Z， 又函数在区间上是单调函数，可知≥－0，即·≥，解得0＜ω≤8，所以当k＝0时，ω＝，当k＝1时，ω＝4，当k＝2时，ω＝，满足题意， 即ω＝或4或. [答案]　D 与三角函数单调性相关的ω取值范围问题，需要利用整体思想，结合集合之间的包含关系，列不等式组求解．通常要考虑三角函数的单调区间，包含关系确定ω的范围． 　 　　利用最值求ω的取值范围 [例3]　(2024·天津模拟)函数f(x)＝sin(ω＞0)在内恰有两个最小值点，则ω的范围是(　　) A. B. C. D. [解析]　当ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)时， 即x＝(k∈Z)时，函数有最小值， 令k＝－1,0,1,2时，有x＝－，x＝，x＝，x＝， 因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在内恰有两个最小值点，ω＞0， 所以有 [答案]　B [例4]　(2024·全国模拟)已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f(x1)＋f(x2)＝2A，则实数ω的取值范围是________． [解析]　至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f(x1)＋f(x2)＝2A， ∴当π＞2T＝，即ω＞4时，必存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]满足题意； 当π＜2T，即0＜ω＜4时，ωx∈[πω，2πω]， ∴(k∈Z)，∴(k∈Z)； 当k≤0时，解集为∅，不合题意；令k＝1，则≤ω≤；令k＝2，则≤ω＜4； 综上所述：实数ω的取值范围为∪. [答案]　∪ 利用最值求ω的取值范围，一种思路是利用值域控制相位的范围，解不等式组求解；另一思路根据三角函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据ωx＋φ的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果． 　　利用零点求ω的取值范围 [例5]　(2024·北京市朝阳区人大附中模拟)已知sin 2ωx＋cos2ωx＝1(ω＞0)在x∈(0,2π)有且仅有6个实数根，则实数ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. [解析]　由sin 2ωx＋cos2ωx＝1(ω＞0)， 得sin 2ωx＋cos 2ωx＝(ω＞0)， 即sin＝. 设f(x)＝sin， 即f(x)＝在x∈(0,2π)有且仅有6个实数根， 因为＜2ωx＋＜4ωπ＋， 故只需6π＋＜4ωπ＋≤6π＋， 解得＜ω≤. [答案]　D [例6]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [解析]　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3. [答案]　[2,3) 三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，根据零点个数，确定ω的范围．三角函数两个零点之间的“水平间隔”为， 根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值. 　　　对称性有关的ω最值范围问题 [例7]　将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是(　　) A. B．2 C. D. [解析]　将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度， 得y＝sin ω＝sin， ∵y＝sin的图象关于直线x＝π对称， ∴ωπ－＝＋kπ，k∈Z，∴ω＝＋k，k∈Z， ∵ω＞0，∴ω的最小值为. [答案]　D [例8]　(2024·安徽蒙城模拟)已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. [解析]　f(x)＝cos(ω＞0)， 令ωx－＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z， 函数f(x)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴， 即0≤≤π有3个整数k符合， 0≤≤π，得0≤≤1⇒0≤1＋4k≤4ω，则k＝0,1,2， 即1＋4×2≤4ω＜1＋4×3，∴≤ω＜. [答案]　C 根据三角函数图象的对称性或对称轴(对称中心)的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据ωx＋φ的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果． 　 　　综合性质有关的ω最值范围问题 [例9]　(多选)(2024·湖南周南中学模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω＞0，则下列结论中正确的是(　　) A．若ω＝2，则将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称 B．若|f(x1)－f(x2)|＝4，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝2 C．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为(0,3] D．若f(x)在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 [解析]　函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin. 选项A，若ω＝2，f(x)＝2sin，将f(x)的图象向左平移个单位长度得函数y＝sin 2x的图象，所以A正确；选项B，若|f(x1)－f(x2)|＝4，则x1，x2是函数f(x)的最大值点或最小值点，若|x1－x2|的最小值为，则最小正周期是π，所以ω＝2，B正确；选项C，若f(x)在上单调递增，则ωπ－≤，所以0＜ω≤，C错误；选项D，设t＝ωx－，当[0，π]时，t＝ωx－∈， 若f(x)在[0，π]仅有3个零点，即y＝2sin t在t∈仅有3个零点， 则2π≤ωπ－＜3π，所以≤ω＜，D正确． [答案]　ABD [例10]　(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________． [解析]　由题意，令ωx＋＝kπ，k∈Z， 得x＝，k∈Z， ∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，， ∴解得≤ω＜4， 令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， ∴－＋≤x≤＋，k∈Z， 令k＝0，f(x)在上单调递增， ∴⊆， ∴解得0＜ω≤， 综上，ω的取值范围是≤ω≤. [答案]　 利用三角函数的综合性质求ω的范围．问题，应结合三角函数的图象，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据三角函数的性质以及题中条件，找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$