主题2 第4章 第7节 解三角形的综合问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第7节　解三角形的综合问题 　 　　解三角形中的结构不良问题 [典例]　(2024·云南师大附中模拟)△ABC的内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，点O为△ABC的内心，记△OBC，△OAC，△OAB的面积为S1，S2，S3，已知S＋S－S＝S1S3，c＝3. (1)求角B； (2)在①sin A＋sin B＝2sin C；②＝2；③acos C＋ccos A＝这三个条件中任选一个，判断三角形是否存在？若存在，求出三角形面积，若不存在，请说明理由． [解]　(1)设△ABC内切圆半径为r， 因为S＋S－S＝S1S3，所以2＋2－2＝，化简得：a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，因为B∈，所以B＝. (2)若选择①，因为sin A＋sin B＝2sin C，所以a＋b＝2c＝6，由(1)知a2＋c2－b2＝ac，c＝3，所以a2＋9－b2＝3a，所以a2＋9－2＝3a，解得a＝b＝3，所以△ABC存在且唯一，面积S＝absin C＝×9×＝. 若选择②，＝2，所以a＝2b，由(1)知a2＋c2－b2＝ac，c＝3，所以4b2＋9－b2＝6b，整理得b2－2b＋3＝0，b无解，故△ABC不存在． 若选择③，因为acos C＋ccos A＝，所以a×＋c×＝b＝.由(1)知a2＋c2－b2＝ac，c＝3，所以a2＋9－7＝3a，整理得a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2，经检验，a＝1或a＝2，满足题意，所以△ABC存在两个解．当a＝1时，△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，当a＝2时，△ABC的面积S＝acsin B＝×6×＝. “结构不良问题”的解题策略 (1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目． (2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分． (2024·辽宁省大连市模拟试卷) 在①a＋acos C＝csin A，②(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，③(a－b)sin(B＋C)＋bsin B＝csin C．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知锐角三角形ABC的内角分别为A，B，C，对边分别为a，b，c，__________，且S△ABC＝. (1)求角C的值； (2)求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 解：(1)选择条件①，∵a＋acos C＝csin A， ∴由正弦定理可得sin A＋sin A cos C＝sin C sin A. ∵0＜A＜，∴sin A≠0， ∴1＋cos C＝ sin C，∴sin C－cos C＝1， 即sin C－cos C＝，∴sin＝. ∵0＜C＜，－＜C－＜， ∴C－＝，∴C＝. 选择条件②，由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝a2＋b2＋2ab－c2＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab. 则由余弦定理得cos C＝＝＝. ∵0＜C＜，∴C＝. 选择条件③，∵A＋B＋C＝π，∴B＋C＝π－A， 结合(a－b)sin(B＋C)＋bsin B＝csin C，得(a－b)·sin A＋b·sin B＝csin C. 由正弦定理，得(a－b)a＋b2＝c2， 即a2＋b2－c2＝ab. 则由余弦定理，得cos C＝＝＝. ∵0＜C＜，∴C＝. (2)∵S△ABC＝absin C＝ab·＝，∴ab＝4. ∵△ABC为锐角三角形，且C＝， ∴A＝－B∈，∴＜B＜. 又0＜B＜，∴＜B＜，∴tan B＞. 由正弦定理＝，得a＝， ∴a2＝＝ ＝＋2，∴2＜a2＜8，∴＜a＜2， 即a的取值范围为(，2)． 　 　　平面几何中的解三角形问题 [典例]　如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列． (1)求sin∠CED； (2)求BE的长． [解]　设∠CED＝α. 因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列， 所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE， 又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝. (1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC， 即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0， 解得CD＝2(CD＝－3舍去)． 在△CDE中，由正弦定理得＝， 于是sin α＝＝＝， 即sin∠CED＝. (2)由题设知0<α<，由(1)知 cos α＝＝＝， 又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α， 所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋ sinsin α＝－×＋×＝. 在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝， 所以BE＝4. 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 提醒：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． (2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解：(1)因为S△ABC＝2S△ADC＝2×××1×sin 60°＝a＝，解得a＝4， 在△ADC中由余弦定理得b2＝12＋22－2×1×2×cos ＝3， 在△ABD中，c2＝12＋22－2×1×2×cos ＝7， 在△ABC中，cos B＝＝＝，sin B＝＝， 因此tan B＝＝. (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)，即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，所以a2＝12，又S△ABC＝bcsin A＝，因而bcsin A＝2，又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即12＝8－2bccos A，所以bccos A＝－2，故tan A＝－⇒cos A＝－，所以bc＝4，又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2，b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，故可得b＝c＝2. 　 　　解三角形中的最值与范围问题 [典例]　(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. (1)若C＝，求B； (2)求的最小值． [解]　 (1)因为＝ ＝＝， 即sin B＝cos Acos B－sin Asin B ＝cos(A＋B)＝－cos C＝， 而0＜B＜，所以B＝. (2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0， 所以＜C＜π，0＜B＜， 而sin B＝－cos C＝sin， 所以C＝＋B， 即有A＝－2B. 所以＝＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5. 当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5. 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 本题涉及求边的取值范围，一般思路是 (1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值． (2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用不等式求出范围或最值． (2024·湖北七市联考)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝. (1)求角B的大小； (2)若b＝2，求a＋c的取值范围． 解：(1)由已知条件， 得bcos A＋acos B＝bsin C. 由正弦定理， 得sin Bcos A＋cos Bsin A ＝sin Bsin C， 即sin(A＋B)＝sin Bsin C. 又在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0， 所以sin B＝.因为B是锐角，所以B＝. (2)由正弦定理， 得＝＝＝＝4， 则a＝4sin A，c＝4sin C. 所以a＋c＝4sin A＋4sin C ＝4sin A＋4sin ＝6sin A＋2cos A＝4sin. 由0<A<，0<－A<，得<A<， 所以<A＋<，所以<sin≤1， 所以6<a＋c≤4.故a＋c的取值范围为(6,4]． 　 　　三角变换与解三角形的综合应用 [典例]　(2024·浙江省新昌中学模拟)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋，其中ω＞0，若实数x1，x2满足|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为. (1)求ω的值及f(x)的对称中心； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)＝－1，a＝，求△ABC周长的取值范围． [解]　(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋ ＝sin 2ωx－＋ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin ， 显然f(x)的最大值为1，最小值为－1，则|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值等于， 则＝，则＝π，ω＝1； 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z， 则f(x)的对称中心为，k∈Z. (2)f(A)＝sin＝－1,2A＋＝－＋2kπ，k∈Z，又A∈(0，π)，则A＝， 由正弦定理得＝＝＝＝2， 则b＝2sin B，c＝2sin C， 则周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C ＝＋2sin B＋2sin ＝＋sin B＋cos B＝＋2sin， 又0＜B＜，则＜B＋＜， 则＜2sin≤2， 故周长的取值范围为(2，2＋]． 解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形； (2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用． (2024·山东淄博模拟)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋(ω＞0)，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，bc＝12，f(A)＝1.若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长． 解：(1)因为f(x)＝sin ωx cos ωx－cos2ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin， 设函数f(x)的周期为T，由题意2＋4＝4＋，即2＝，解得ω＝1， 所以f(x)＝sin. (2)由f(A)＝1，得sin＝1，即2A－＝2kπ＋，k∈Z，解得A＝kπ＋，k∈Z， 因为A∈[0，π]，所以A＝， 因为A的平分线AD交BC于D， 所以S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即bcsin ＝c·AD·sin ＋b·AD·sin ，可得AD＝， 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc，而bc＝12， 得(b＋c)2＝52，因此AD＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$