主题2 第4章 第6节 正弦定理和余弦定理及应用举例-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第6节　正弦定理和余弦定理及应用举例 ★[课程标准] 1．掌握余弦定理、正弦定理及其变形． 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的三角形度量问题． 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝　　＝　　＝2R a2＝　b2＋c2－2bccos A　； b2＝　c2＋a2－2cacos B　； c2＝　a2＋b2－2abcos C　 常 见 变 形 (1)a＝2Rsin A，b＝　2Rsin B　，c＝　2Rsin C　； (2)sin A＝，sin B＝　　，sin C＝； (3)a∶b∶c＝　sin A∶sin B∶sin C　； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝　　； cos B＝　　； cos C＝　　 2.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 3．测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角 与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 在△ABC中，常用以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B; b＝acos C＋ccos A; c＝bcos A＋acos B. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.(　　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　 (4)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第二册P110练习T1改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：C　[在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.] 2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解析：A　[∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝－<0， 即90°<C<180°. ∴△ABC是钝角三角形．] 3．(多选)(解三角形时漏解致误)在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则角A为(　　) A．60° B．120° C．75° D．30° 解析：AB　[由正弦定理＝，得sin A＝，因为，a＞b，所以A＝60°或A＝120°.] 4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． 解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2. 答案：2 5．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m. 解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，由正弦定理得＝，所以PB＝＝30(＋)，所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)． 答案：30＋30 　　　利用正、余弦定理解三角形 ►[命题点1]　求边长　 [典例1]　(2024·上海模拟)如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为(　　) A．5　　 B．5 C.　　 D. [解析]　在△ACD中，由余弦定理得：cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以sin C＝＝， 在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝. [答案]　D 1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝， a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 　提醒：(1)已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得． (2)涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性． 1．(2024·青海玉树模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos A＝－，sin B＝2sin C，则b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　[因为sin B＝2sin C，由正弦定理可知b＝2c，在△ABC中，由余弦定理可得：cos A＝＝－⇒＝－，解得c2＝4，∵c＞0，∴c＝2，故b＝4.] ►[命题点2]　求角　 [典例2]　记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. [解]　法一：(1)证明：由BDsin∠ABC＝asin C及正弦定理得BD＝＝＝＝b. (2)由余弦定理得 cos A＝＝， 整理得2a2＋c2－b2＝0， 即2a2＋c2－ac＝0，所以c＝3a或c＝a， 当c＝3a时，由b2＝ac得b＝a， 此时a＋b＝(＋1)a＜c，不满足题意， 当c＝a时，由b2＝ac得b＝a， 所以cos∠ABC＝＝. 法二：(1)由题设，BD＝，由正弦定理知：＝，即＝，∴BD＝，又b2＝ac， ∴BD＝b，得证． (2)由题意知：BD＝b，AD＝，DC＝， ∴cos∠ADB＝＝， 同理cos∠CDB＝＝， ∵∠ADB＝π－∠CDB， ∴＝，整理得2a2＋c2＝， 又b2＝ac， ∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0， 解得＝或＝， 由余弦定理知：cos∠ABC＝ ＝－， 当＝时，cos∠ABC＝＞1不合题意；当＝时，cos∠ABC＝； 综上，cos∠ABC＝. 1．已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式：sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2．已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝. 　提醒：(1)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用． (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式． 2．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则∠B＝(　　) A.　　　 B.　 C.　　 D. 解析：C　[由a cos B－b cos A＝c，得sin Acos B－sin B cos A＝sin C， 得sin(A－B)＝sin C＝sin(A＋B)，即sin A cos B－sin B cos A＝sin A cos B＋sin B cos A， 即2 sin B cos A＝0，得sin B cos A＝0， 在△ABC中，sin B≠0，∴cos A＝0 ，即A＝， 则B＝π－A－C＝π－－＝.] 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 [母题]　(2024·浙江高三模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin 2B＝2bsin Bcos A，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 [解析]　由正弦定理asin 2B＝2bsin Bcos A，得2sin Asin Bcos B＝2sin2Bcos A， 又在△ABC中，A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A＝tan B，即A＝B， 故△ABC的形状一定是等腰三角形． [答案]　A [子题1]　母题条件不变，若＝，判断△ABC的形状． 解：由＝，得＝， ∴sin Acos A＝cos Bsin B，∴sin 2A＝sin 2B. ∵A，B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． [子题2]　母题条件不变，若a＝2bcos C，判断△ABC的形状． 解：法一：因为a＝2bcos C，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，则△ABC一定是等腰三角形． 法二：∵sin A＝2sin Bcos C， ∴sin (B＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0. ∴B－C＝0，B＝C，则△ABC是等腰三角形． [子题3]　母题条件不变，若<cos A，判断△ABC的形状． 解：依题意得<cos A，sin C<sin Bcos A， 所以sin(A＋B)<sin Bcos A. 即sin Bcos A＋cos Bsin A－sin Bcos A<0. 所以cos Bsin A<0又sin A>0，于是有cos B<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形． 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断． 提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响. 　 　　与三角形面积有关的问题 [典例]　(12分)(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1. (1)求sin∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ACD的面积． ►[答题模板] (1)第1步：选用余弦定理求BC 由余弦定理得BC2＝22＋12－2×2×1·cos 120°＝7①，(2分) 故BC＝②.(3分) 第2步：选用正弦定理求sin∠ABC 由正弦定理得＝，即＝③，(5分) 解得sin∠ABC＝④.(6分) (2)第1步：根据角的正切值求AD 由(1)得sin B＝，则cos B＝，tan B＝＝⑤，(8分) 在Rt△ADB中，AD＝2tan B＝⑥.(9分) 第2步：求△ADC的面积 因为∠BAC＝120°，∠BAD＝90°，所以∠CAD＝30°， 则S△ADC＝AD·AC·sin∠CAD⑦(11分) ＝××1×＝⑧.(12分) ►[教材知识迁移与运用] 条件 ∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1 教材 知识 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bcos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C 迁移与 运用 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1·cos 120°＝7 ►[得分点①]　正确选用余弦定理得2分 ►[得分点②]　正确求解BC得1分 ►[得分点③]　正确选用正弦定理得2分 ►[得分点④]　正确求解sin∠ABC得1分 ►[得分点⑤]　正确利用同角三角函数关系求解tan B得2分 ►[得分点⑥]　正确求解AD得1分 ►[得分点⑦]　正确选用三角形面积公式得2分 ►[得分点⑧]　正确求解三角形面积得1分 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． [解]　(1)因为＝＝2bc＝2， 所以bc＝1. (2)－ ＝－＝1， 所以－＝＝1， 所以sin(A－B)－sin B＝sin C＝sin(A＋B)， 所以sin A cos B－sin B cos A－sin B＝sin Acos B＋sin B cos A，即2sin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝－，由A为三角形内角得A＝，△ABC面积S＝bcsin A＝×1×＝. 　 　　解三角形应用举例 ►[命题点1]　 测量距离问题　 1．(2024·广东惠州模拟)如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长200 mm，曲柄CB长70 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为__________ mm(结果保留整数)(参考数据：sin 53.2°≈0.8)． 解析：如图，在△ABC中，AB＝200，BC＝70，∠ACB＝53.2°，sin∠ACB＝， 由正弦定理，sin∠BAC＝＝， ∵AB＞BC，∴∠ACB＞∠BAC， 故∠BAC为锐角， ∴cos∠BAC＝＝， cos∠ACB＝＝， ∴sin∠ABC＝sin(∠ACB＋∠BAC) ＝×＋×＝， 所以AC＝＝200××＝234， 故A0A＝(A0B0＋B0C)－AC＝(200＋70)－234＝36(mm)． 故曲柄CB0按顺时针方向旋转53.2°时活塞移动的距离约为36 mm. 答案：36 测量距离问题的2个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 1．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C点)? 解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°， 所以AB＝BD＝1 km，因为∠ABD＝120°，由正弦定理得＝，解得AD＝ km， 在△ACD中， 由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°， 得9＝3＋CD2＋2×CD， 即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝ km， BC＝BD＋CD＝ km， 两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米， 即2.5千米，而<＝＝2.5， 所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰． ►[命题点2]　测量高度问题　 2．(2024·北京101中学模拟)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(≈1.414，≈1.732)(　　) A．18米 B．19米 C．20米 D．21米 解析：B　[Rt△ADC中，∠DAC＝30°，则AC＝CD，Rt△BDC中，∠DBC＝45°，则BC＝CD， 由AC－BC＝AB得CD－CD＝14⇒CD＝＝7(＋1)≈19.124，CD约为19米．] 高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度． 2．(2024·湖南长郡中学模拟)如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”“起”“向”“未”“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台(B点为看台底部)由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为P1Q1，P2Q2，…，P5Q5，且BQ1＝16米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则BQ5＝(　　) A．40.5米 B．54米 C．81米 D．121.5米 解析：C　[依题意＝，Q1Q2＝8， ＝，Q2Q3＝12， ＝，Q3Q4＝18， ＝，Q4Q5＝27， 所以BQ5＝16＋8＋12＋18＋27＝81米．] ►[命题点3]　测量角度问题　 3．(2024·吉林模拟)位于灯塔A处正西方向相距(5－5)n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距5 n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(　　) A．30° B．60° C．75° D．45° 解析：B　[依题意，过点C作CD⊥BA的延长线交于点D，如图， 则AB＝5－5，AC＝5，∠ACD＝45°， 在Rt△ADC中，AD＝DC＝5， 在Rt△BDC中，BD＝5，DC＝5， ∴tan∠BCD＝＝，又∵∠BCD∈， ∴∠BCD＝， 则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西60°.] 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． 3．(2024·北京通州模拟)太阳高度角是太阳光线与地面所成的角(即太阳在当地的仰角)．设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，φ为当地纬度值，那么这三个量满足θ＝90°－|φ－δ|.通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值(φ取正值)，选择春分当日(δ＝0°)测算正午太阳高度角．他们将长度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下： 组别 甲组 乙组 丙组 丁组 木杆影长度(米) 0.82 0.80 0.83 0.85 则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是(　　) A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 解析：D　[如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点纬度，φ为当地纬度值，那么这三个量满足θ＝90°－|φ－δ|， 当δ＝0°且φ为正值，可得θ＝90°－φ， 即φ＝90°－θ， 设木杆的影长为m，可得tan θ＝， 因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82,0.80,0.83,0.85， 所以当m＝0.85时，θ取得最小值，此时φ求得最大值， 所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组．] 学科网（北京）股份有限公司 $$