主题2 第4章 第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角函数模型的应用 ★[课程标准] 1．结合具体实例，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的几个相关的概念 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈R A T＝ f＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如图： x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 1．函数的周期与图象的对称性之间的关系． (1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期． 2．对称轴(对称中心)与函数值的关系． 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0. ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　　) (2)要得到函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍．(　　) (3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象．(　　) (4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　　) (5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 解析：A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除BD.由f＝0，f＝0，排除C.] 2．(BSD必修第二册P46练习T3(1)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 解析：B　[由于变换前后，两个函数的初相相同，所以y＝3sin在纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得到函数y＝3sin的图象．] 3．(多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 解析：BC　[由f(0)>0，排除D；由T＝π，排除A.] 4．(忽视整体化思想致误)若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________. 解析：由题意知当x＝时，函数取得最大值，所以有sin ＝1，所以＝＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝＋6k(k∈Z)，又0<ω<2，所以ω＝. 答案： 5．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况： 月份x 1 2 3 4 收购价格y(元/斤) 6 7 6 5 选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________． 解析：设y＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝， 所以y＝sin＋6. 因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin＋6， 结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－， 所以y＝sin＋6. 答案：y＝sin＋6 　　　 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 1．(2024·陕西省洛南中学模拟)已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则g(x)的解析式是(　　) A．y＝2sin＋1 B．y＝2sin＋1 C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2 解析：A　[由图象可得解得A＝2，k＝1，由正弦型图象性质可得＝－＝， 所以T＝＝π，解得ω＝2，又2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，所以φ＝，所以y＝2sin＋1.] 2．(2024·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________. 解析：由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝. 又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数， 所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0， 则φ＝，所以f(x)＝cos， 所以f(1)＝－. 答案：－ 3．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件 >0的最小正整数x为________． 解析：由＝－＝，得T＝π，ω＝2，将代入y＝2cos(2x＋φ)，得cos＝0，＋φ＝，φ＝－，所以f(x)＝2cos. >0等价于(f(x)－1)f(x)>0，等价于f(x)<0或f(x)>1，由f(x)＜0得x∈，k∈Z，此时x的最小正整数为2， 由f(x)＞1，得x∈，k∈Z，此时x的最小正整数为2. 答案：2 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝. (3)求φ的常用方法 ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π. 　 　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 [典例]　(1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. [解析]　由题意知：曲线C为y＝ sin＝sin，又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z， 解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω＞0，故当k＝0时，ω的最小值为. [答案]　C (2)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin [解析]　法一：函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f的图象， 根据已知得到了函数y＝sin的图象，所以f＝sin， 令t＝2，则x＝＋，x－＝＋， 所以f(t)＝sin， 所以f(x)＝sin； 法二：由已知的函数y＝sin逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度， 得到y＝sin＝sin的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin. [答案]　B [互动探究] 由函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到y＝2sin的图象？ 解：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法 (1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． (2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 平移变换(或伸缩变换)是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 1．(2024·河南洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　) A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 C．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度 D．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度 解析：C　[A.先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得y＝ cos＝cos＝sin 的图象，A错误；B.先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得y＝cos ＝cos＝sin的图象，B错误；C.先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得y＝cos 2＝cos＝sin 的图象，C正确；D.先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得y＝cos 2＝cos ＝sin 的图象，D错误．] 2．(2023·全国甲卷)已知函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 解析：C　[因为函数y＝cos向左平移个单位可得函数为y＝cos ＝cos＝－sin 2x，所以f(x)＝－sin 2x， 而y＝x－显然过与(1,0)两点， 作出f(x)与y＝x－的部分图象大致如图， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f＝－sin＝－1， y＝×－＝－＜－1； 当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝＜1； 当x＝时，f＝－sin＝1，y＝×－＝＞1； 所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.] 　　　　三角函数图象与性质的综合问题 1．(2024·湖南益阳月考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，下列结论正确的是(　　) A．函数g(x)是奇函数 B．函数g(x)在区间[－2π，0]上是增函数 C．函数g(x)图象关于(3π，0)对称 D．函数g(x)图象关于直线x＝－3π对称 解析：D　[由题图可得函数的周期T＝×4＝π＝，所以ω＝2. 因为函数的图象过点，所以 sin＝－1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|＜， 所以φ＝，所以f(x)＝sin. 先将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin ＝－cos x. 对于A选项，因为函数g(x)为偶函数，故A错误；对于B选项，令x∈[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，则x∈[6kπ，3π＋6kπ](k∈Z)，而[－2π，0][6kπ，3π＋6kπ](k∈Z)，故B错误；对于C选项，令x＝＋kπ(k∈Z)，则x＝＋3kπ(k∈Z)，所以函数的对称中心为，(k∈Z)，故C错误；对于D选项，令x＝kπ(k∈Z)，则x＝3kπ(k∈Z)，所以函数的对称轴为x＝3kπ(k∈Z)，当k＝－1时，有x＝－3π，即D正确．] 2．(多选)已知f(x)＝1－2cos2(ω＞0)，下面结论正确的是(　　) A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则ω＝2 B．存在ω∈(1,3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是 解析：BCD　[依题意f(x)＝－cos， ω＞0，－1≤f(x)≤1. 对于A选项，若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π， 则＝π⇒＝＝π⇒ω＝，故A选项错误； 对于B选项，当ω＝2时，f(x)＝－cos， 向右平移个单位长度后得到 y＝－cos＝－cos 4x， 其为偶函数，图象关于y轴对称．故B选项正确； 对于C选项，0≤x≤2π，则≤2ωx＋≤4ωπ＋， 若f(x)在[0,2π]上有恰有7个零点，则≤4ωπ＋＜，解得≤ω＜，故C选项正确； 对于D选项，－≤x≤，则－＋≤2ωx＋≤＋，若f(x)在上单调递增， 则即由于k∈Z，ω＞0，故k＝0,0＜ω≤. 所以D选项正确．] 3．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 解析：f(T)＝f(0)＝cos φ＝，且0＜φ＜π， 故φ＝， f＝cos＝0⇒ω＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝3＋9k(k∈Z)， 又ω＞0，故ω的最小值为3. 答案：3 解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念． 　 　　　三角函数模型及其应用 [典例]　(多选)(2024·河北石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒 [解析]　由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40(秒)，故A错误；当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝(弧度)，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确；以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)， 由所以 又角速度ω＝＝(弧度/秒)，t＝0时， ∠xOP0＝，所以ω＝，φ＝－， 所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，点P距离水面2米，故C正确；将H＝1＋代入H＝2sin＋1中，得t－＝2kπ＋，或t－＝2kπ＋，即t＝60k＋15或t＝60k＋25(k∈N)．所以点P第二次到达距水面(1＋)米时用时25秒，故D正确． [答案]　BCD 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2024·重庆八中模拟)阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝2sin(ωt＋φ)，其中ω＞0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移s0(－2＜s0＜2)的时间分别为t1，t2，t3，且t3－t1＝2，则ω＝(　　) A. B．π C. D．2π 解析：B　[由正弦型函数的性质，函数示意图如图所示： 所以T＝t3－t1＝2，则＝2，可得ω＝π.] 学科网（北京）股份有限公司 $$