主题2 第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 ★[课程标准] 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 2．掌握诱导公式，并会简单的应用． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 　－sin α　 　－sin α　 　cin α　 　cos α　 　cos α　 余弦 cos α 　－cos α　 　cos α　 　－cos α　 　cin α　 　－sin α　 正切 tan α 　tan α　 　－tan α　 　－tan α　 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (3)sin α＝tan αcos α. (4)sin2α＝＝； cos2α＝＝. ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (4)若sin＝，则cos α＝－.(　　) (5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．若sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　) A.　　 B．－ C.　　 D．－ 解析：D　[因为sin α＝，且α为第二象限角，得cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－.] 2．已知sin＝，则cos的值等于(　　) A．－ B. C. D．± 解析：B　[因为＋α 与 －α 互余， 所以cos＝sin＝.] 3．(BSD必修第二册P24练习T4改编)已知角α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：A　[因为角α是第二象限角，所以cos α＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－＝－.] 4．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________. 解析：tan θ＋＝＋＝＝2. 答案：2 5．(对诱导公式理解不对致误)若sin＝， 则cos＝________. 解析：cos ＝cos ＝－cos＝－1＋2sin2＝－. 答案：－ 　　　　同角三角函数的基本关系 1．(2024·青海西宁)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝(　　) A.　　 B．－ C.　　 D．－ 解析：B　[P点的纵坐标为－6＜0，且cos α＝－＜0，所以P在第三象限，所以sin α＝－＝－， tan α＝＝，＋＝－＋＝－＝－.] 2．(2024·菏泽模拟)若＝2，则＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：C　[因为＝2，所以sin θ＝3cos θ， 所以sin θ，cos θ同号，即sin θcos θ＞0， sin2θ＋cos2θ＝9cos2θ＋cos2θ＝10cos2θ＝1， cos2θ＝，从而sin2θ＝， sin2θcos2θ＝，所以sin θcos θ＝， ＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ ＝＋＝.] 3．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值． 解：(1)法一：联立方程 由①得 cos α＝－sin α，将其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角， ∴∴tan α＝－. 法二：∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－＜0，且0＜α＜π， ∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. ∴sin α－cos α＝. 由得 ∴tan α＝－. (2)＝ ＝＝.∵tan α＝－， ∴＝＝＝－. (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 　　　　三角函数的诱导公式 1．(2024·福建福州模拟)点A(sin 2 024°，cos 2 024°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[sin 2 024°＝sin 224°＝－sin 44°＜0，cos 2 024°＝cos 224°＝－cos 44°＜0.] 2．设f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，则f＝________. 解析：∵f(α)＝ ＝＝ ＝(1＋2sin α≠0)，∴f ＝＝＝＝. 答案： 1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 　也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角． (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”． [口诀助读] 诱导公式就是好，负化正后大化小； π的一半整数倍，奇数变化偶不变； 函数符号问象限，两个函数看左边． 　 　　诱导公式、同角三角函数关系式的活用 [典例]　(1)(2024·全国模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(1,2)为角θ终边上的一点，将角θ终边逆时针旋转得到角β的终边，则＝(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．2 [解析]　由题可知tan θ＝2， 所以tan β＝tan＝＝＝－3， 则＝ ＝＝ ＝＝＝－2. [答案]　A (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.求的值． [解]　由已知，得sin x＋cos x＝，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－. ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝， 由－π<x<0知，sin x<0， 又sin xcos x＝－<0， ∴cos x>0，∴sin x－cos x<0， 故sin x－cos x＝－. ∴＝ ＝＝＝－. 巧用相关角的关系、简化解题过程 (1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等． (2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． 1．已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：D　[由tan 2θ＝－2，可得tan 2θ＝＝－2，即tan2θ－tan θ－＝0， 解得tan θ＝或tan θ＝－. 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝， 故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－cos2θ ＝sin2θ＋sin θcos θ－cos2θ ＝＝ ＝＝.] 2．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝， 则sin θ－cos θ＝________. 解析：因为θ∈，则sin θ＞0，cos θ＞0， 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$