主题2 第3章 第3节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第3节　利用导数研究函数的极值、最值 ★[课程标准] 1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数极值的概念 (1)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值　都小于　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的　极大值点　，其函数值f(x0)为函数的　极大值　. (2)在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值　都大于　点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的　极小值点　，其函数值f(x0)为函数的　极小值　. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导函数f′(x)． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)列表，检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的函数值的符号，如果　左正右负　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果　左负右正　，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． (4)得极值，由表得极大值与极小值． 3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. (2)将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 4．利用导数求解实际问题中的优化问题 (1)在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为　最优化　问题． (2)应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条件下的最大(小)值问题．此过程用框图表示如下： 说明：常将问题中能取得最大值或最小值的那个变量设为y，而将另一个与y有关的变量设为x，然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分析可得出函数的最值． (3)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的实际意义确定最值． 1．函数极值与导数的关系 (1)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数极值与最值的关系 (1)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． (2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　) (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　) (6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ (6)× ◆[小题查验] 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．] 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1　　 B．2　 C．3　　 D．4 解析：A　[由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．] 3．函数y＝xex的最小值是(　　) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 解析：C　[y′＝ex＋x·ex， 令y′＝0，则x＝－1， ∵x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0， ∴x＝－1是函数的唯一极小值点，即为最小值点， ∴x＝－1时，ymin＝－.] 4．(忽视参数的检验致误)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a的值为________，b的值为________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得解得或当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，所以f(x)在x＝1处取得极值； 当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，此时f(x)在x＝1处无极值．所以a＝－3，b＝3. 答案：－3　3 5．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3. 解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm. 则y＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)， ∴y′＝12x2－104x＋160. 令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)， ∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)． 答案： 144 　 　　利用导数研究函数的极值 ►[命题点1]　由函数图象判断其极值情况　 1．如图，直线y＝ax＋2与曲线y＝f(x)交于A、B两点，其中A是切点，记h(x)＝，g(x)＝f(x)－ax，则下列判断正确的是(　　) A．h(x)只有一个极值点 B．h(x)有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．g(x)的极小值点小于极大值点，且极小值为－2 D．g(x)的极小值点大于极大值点，且极大值为2 解析：D　[设切点A的坐标为(x0，f(x0))，则由条件得f′(x0)＝a， 且当x＜x0时，f′(x)＞a；当x＞x0时，f′(x)＜a， ∵g(x)＝f(x)－ax， ∴g′(x)＝f′(x)－a， ∴当x＜x0时，g′(x)＝f′(x)－a＞0，g(x)单调递增， 当x＞x0时，g′(x)＝f′(x)－a＜0，g(x)单调递减， ∴当x＝x0时g(x)有极大值，且极大值为g(x0)＝f(x0)－ax0＝2， 同理g(x)有极小值，结合题图可得g(x)的极小值点大于极大值点．] ►[命题点2]　利用导数求函数的极值　 2．已知函数f(x)＝x2－8x＋6ln x＋1，则f(x)的极大值为(　　) A．10　　　　　　　 B．－6 C．－7 D．0 解析：B　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－8＋＝， 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，故 x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＞0 ＝0 ＜0 ＝0 ＞0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f(x)的极大值为f(1)＝－6.] 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤 (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点． 若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． ►[命题点3]　已知极值求参数的取值　 3．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3,0) 解析：B　[f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a， 若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a＜0，令f′(x)＝3x2＋a＝0， 解得x＝－或 ， 且当x∈∪时， f′(x)＞0， 当x∈，f′(x)＜0， 故f(x)的极大值为f， 极小值为f， 若f(x)要存在3个零点，则即解得a＜－3.] 4．已知函数f(x)＝ln x. (1)求f(x)图象过点P(0，－1)的切线方程； (2)若函数 g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝. 设切点坐标为(x0，ln x0)， 则切线方程为y＝x＋ln x0－1. 把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，∴x0＝1. ∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1. (2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋(x>0)， 所以g′(x)＝－m－＝＝－， 令h(x)＝mx2－x＋m， 要使g(x)存在两个极值点 x1，x2， 则方程mx2－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2， 故只需满足即可，解得0<m<. 　　　　　利用导数研究函数的最值 [典例]　(1)(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 [解析]　f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x， 所以f(x)在区间和上f′(x)＞0，即f(x)单调递增； 在区间上f′(x)＜0，即f(x)单调递减， 又f(0)＝f(2π)＝2，f＝＋2， f＝－＋1＝－， 所以f(x)在区间[0,2π]上的最小值为－，最大值为＋2. [答案]　D (2)已知函数f(x)＝x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数． ①讨论函数f(x)的单调性； ②求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值． [解]　①f′(x)＝2xeax＋x2aeax＝x(ax＋2)eax. 当a＝0时，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)<0，得x<0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减； 当a<0时，由f′(x)>0得，0<x<－， 由f′(x)<0，得x<0或x>－. 故函数f(x)在上单调递增， 在(－∞，0)与上单调递减． ②当a＝0时，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值为f(1)＝1； 当－2<a<0时，－>1，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值是f(1)＝ea； 当a≤－2时，0<－≤1，x＝－是函数f(x)在区间[0,1]上唯一的极大值点，也就是最大值点， 此时函数f(x)最大值是f＝. 综上可得当－2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值是ea； 当a≤－2时，f(x)在[0,1]上的最大值为. 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，首先可判断函数在[a，b]上的单调性，若函数在[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值．若函数在[a，b]上不单调，一般先求[a，b]上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值． 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 1．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 解析：B　[因为f′(x)＝，由题意可知f′(1)＝a－b＝0，f(1)＝aln 1＋b＝b＝－2， 所以a＝－2，因此f′(2)＝＝－.] 2．(2021·北京卷)已知函数f(x)＝. (1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))处切线方程； (2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝， f(1)＝1，f′(1)＝－4，故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得4x＋y－5＝0. (2)f′(x)＝＝， 若函数f(x)在x＝－1处取得极值，令f′(－1)＝0，即＝0，解得a＝4， 经检验，当a＝4时，x＝－1为函数f(x)的极大值，符合题意． 此时，f(x)＝，函数定义域为R， f′(x)＝， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝4， f(x)，f′(x)随x的变化趋势如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,4) 4 (4，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  故函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(4，＋∞)，单调递减区间为(－1,4)． 极大值为f(－1)＝1，极小值为f(4)＝－. 又因为x＜时，f(x)＞0，x＞时，f(x)＜0， 故可判断函数f(x)的最大值为f(－1)＝1，最小值为f(4)＝－. 　 　　　利用导数研究生活中的优化问题 [典例]　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. [思维导引]　(1)建造费用＝表面积×单价，用r把l表示出来，再由l≥2r得到r的取值范围，即函数y的定义域；(2)利用导数求该容器的建造费用最小时的r. [解]　(1)设容器的容积为V，由题意知 V＝πr2l＋πr3，又V＝，故l＝＝－r＝.由于l≥2r， 因此≥2r， 整理得≥5r，故0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c. 因此y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2. (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－ ＝，0<r≤2. 由于c>3，所以c－2>0， 当r3－＝0时，r＝ . 令 ＝m，则m>0， 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当0<m<2，即c>时，当r＝m时，y′＝0； 当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0. 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点． ②当m≥2，即3<c≤时， 当r∈(0,2]时，y′<0，函数单调递减， 所以r＝2是函数y的最小值点． 综上所述，当3<c≤，建造费用最小时r＝2； 当c>，建造费用最小时r＝ . 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)． (2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点． (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． (2024·绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，即a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)． 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4时，函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $$