主题2 第3章 第1节 导数的概念及其几何意义、导数的运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第1节　导数的概念及其几何意义、导数的运算 ★[课程标准] 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数． 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0 变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数．通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ . (2)几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的　切线的斜率　. 2．函数y＝f(x)的导函数 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数f′(x)＝→0　　，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数．有时也将导数记作y′. 3．基本初等函数的导数公式 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝　0　 y＝xα(α是实数) y′＝　αxα－1　 y＝ax(a>0，a≠1) y′＝　axln_a　，特别地(ex)′＝　ex　 y＝logax(a>0，a≠1) y′＝　　，特别地(ln x)′＝　　 y＝sin x y′＝　cos x　 y＝cos x y′＝　－sin x　 y＝tan x y′＝　　 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； (2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 　x的函数　，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的　复合函数　，记作　y＝f(φ(x))　，其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．其中u＝φ(x)． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　　) 答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √ ◆[小题查验] 1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3　　　　　　　　 B．3 C．6 D．－6 解析：D　[由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝ (－3Δt－6)＝－6.] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：D　[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大．] 3．已知函数f(x)＝x(19＋ln x)，若f′(x0)＝20，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 解析：B　[f′(x)＝19＋ln x＋x·＝20＋ln x，由f′(x0)＝20，得20＋ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.] 4．(多选)下列求导数运算正确的有(　　) A．(sin x)′＝cos x B.′＝ C．(log3 x)′＝ D．(ln x)′＝ 解析：AD　[A.(sin x)′＝cos x，故正确； B.′＝－，故错误；C.(log3x)′＝，故错误；D.(ln x)′＝，故正确．] 5．(忽视切点的位置致误)(BSD选择性必修第二册P56习题2－2A组T5改编)已知函数f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32)作函数f(x)的切线，则切线方程为________． 解析：设切点坐标为N(x0,2x－3x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝6x－3， 故切线方程为y＝(6x－3)x＋32，又因为点N在切线上， 所以2x－3x0＝(6x－3)x0＋32，解得x0＝－2，所以切线方程为y＝21x＋32. 答案：y＝21x＋32 　 　　导数的概念 1．已知函数f(x)＝2ln x＋8x， 则 的值为(　　) A．－20　　 B．－10　 C．10　　 D．20 解析：D　[因为f(x)＝2ln x＋8x， 所以f′(x)＝＋8， 所以 ＝ ＝2f′(1)＝20.] 2．用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数． 解：设f(x)＝， 则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1 ＝＝ ＝， ＝－， ∴ ＝ ＝－. ∴y′|x＝1＝－. 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)计算导数f′(x0)＝ . 导数的计算 1．(2024·广州荔湾区期末)下列求导运算正确的是(　　) A．(e1－x)′＝e1－x B．(cos 3x)′＝－sin 3x C．()′＝ D．(xln x)′＝1＋ln x 解析：D　[(e1－x)′＝－e1－x，(cos 3x)′＝－3sin 3x，()′＝，(xln x)′＝ln x＋1.] 2．(2024·湖北武汉模拟预测)已知函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，则f(0)＝________. 解析：由函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x求导，得f′(x)＝2f′(0)e2x＋e－x，当x＝0时，f′(0)＝2f′(0)＋1，解得f′(0)＝－1，因此，f(x)＝－e2x－e－x，所以f(0)＝－2. 答案：－2 3．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋； (3)y＝； (4)y＝xsincos； (5)y＝ln(2x－5)． 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. (3)y′＝′＝ ＝－. (4)∵y＝xsincos ＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x， ∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x ＝－sin 4x－2xcos 4x. (5)令u＝2x－5，y＝ln u， 则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝. 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 　　　　导数的几何意义及应用 ►[命题点1]　求切线方程　 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　 ) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析：C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.] 2．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为________． 解析：(1)当P为切点时，由y′＝′＝x2，得y′|x＝2＝4，即过点P的切线方程的斜率为4. 则所求的切线方程是y－＝4(x－2)， 即12x－3y－16＝0. (2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)， 则切线方程为y－x＝x(x－x0)， 因为切线过点P，把P点的坐标代入以上切线方程，求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，所以切点为Q，即所求切线方程为3x－3y＋2＝0. 综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0. 答案：12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0 3．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________. 解析：当x＞0时，点(x1，ln x1)(x1＞0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1)，若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝. 当x<0时，点(x2，ln(－x2))(x2<0)上的切线为y－ln(－x2)＝(x－x2)．若该切线经过原点， 则ln(－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. 答案：y＝　y＝－ 1．已知切点A(x0，f(x0))，求切线方程的步骤 (1)求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 求切线方程的“在”“过”两重天 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解． (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标． ►[命题点2]　求参数的值(范围)　 4．(2024·湖南模拟)已知P是曲线C：y＝ln x＋x2＋(－a)x上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为θ，若≤θ≤，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，0) B．[2，0) C．(－∞，2] D．(－∞，2] 解析：D　[因为y＝ln x＋x2＋(－a)x， 所以y′＝＋2x＋－a， 因为曲线在M处的切线的倾斜角θ∈，所以y′≥tan＝对于任意的x＞0恒成立， 即＋2x＋－a≥对任意x＞0恒成立， 即a≤2x＋，又2x＋≥2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立，故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．] 5．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 解析：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0＋a) )，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1) ，可得切线方程为y－(x0＋a) ＝(x0＋a＋1) (x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a) ＝－x0(x0＋a＋1) ，化简得x＋ax0－a＝0(*)，又切线有两条，即*方程有两不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a>0，得a<－4，或a>0. 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． ►[命题点3]　两曲线的公切线　 [典例]　(1)(2024·甘肃模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)图象和g(x)图象都相切，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．3 D．－1或3 [解析]　设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)，由f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝1＋ln x，可得切线的斜率为1＋ln m，则切线的方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)，将A(0，－1)代入切线的方程可得－1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，联立可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或3. [答案]　D (2)(2024·河北模拟)若过点P(1，m)可以作三条直线与曲线C：y＝相切，则m的取值范围为(　　) A. B. C．(－∞，0) D. [解析]　由y＝，则y′＝，设切点为，则切线斜率k＝， 则在点的切线方程为y－＝ (x－x0)， 代入点P坐标得m－＝ (1－x0)， 整理为m＝，即这个方程有三个不等式实根， 令f(x)＝，则f′(x)＝， 令f′(x)＞0，则1＜x＜2， 函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 故得f(1)＜m＜f(2)，即m∈. [答案]　D (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上． (3)求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法． 1．(多选)已知函数f(x)＝－ln x，若f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处切线平行，则(　　) A.＋＝ B．x1x2＜128 C．x1＋x2＜32 D．x＋x＞512 解析：AD　[由题意知f′(x)＝－(x＞0)，因为f(x)在x＝x1和x＝x2(x1≠x2)处切线平行，所以f′(x1)＝f′(x2)，即－＝－，化简得＋＝，A正确；由基本不等式及x1≠x2，可得＝＋＞2，即x1x2＞256，B错误；x1＋x2＞2＞32，C错误；x＋x＞2x1x2＞512，D正确．] 2．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. 解析：法一：因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋， y′|x＝1＝2. 所以曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)． 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. 法二：同法一得切线方程为y＝2x－1. 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．因为y′＝2ax＋(a＋2)， 所以＝2ax0＋(a＋2)． 由解得 答案：8 学科网（北京）股份有限公司 $$