主题1 第1章 第2节 常用逻辑用语-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（北师大版）

第2节　常用逻辑用语 ★[课程标准] 1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．命题的概念 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的　充分条件　，q是p的　必要条件　 p⇒q p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的　必要不充分　条件 p q且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 p q且q p 3.全称量词命题、存在量词命题 (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有”“　每一个　”“　任意”　“　一切　”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示． (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有一个”“　存在一个　”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示． 4．全称量词命题、存在量词命题的否定 量词命题 量词命题的否定 结论 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x不具有性质p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 ∃x∈M，x具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 　　 1．在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围)． 2．充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、否结论”． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)命题p的否定的否定是p.(　　) (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (4)“∃x∈M，x具有p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相同．(　　) (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．(　　) (6)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD必修第一册P18练习T1(4)改编)“xy>0”是“x＜0，y＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 解析：B　[因为xy>0不能推出x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0能推出xy>0，所以“xy>0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件．] 2．命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　) A．∃x＜0，≤0　　 B．∃x＞0,0≤x≤1 C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1 解析：B　[因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1.] 3．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：B　[甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．] 4．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立； 但x＝1能推出x(x－1)＝0成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 5．(忽视二次项系数的讨论)命题“∀x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是　________. 解析：①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件， ②当a≠0时，解得0<a<4，综上，0≤a<4. 答案：[0,4) 充分、必要条件的判定 1．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．