主题3 第6章 第1节 平面向量的概念及线性运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（北师大版）

[必修第二册]　主题三　几何与代数 第六章　平面向量、复数 课时冲关33　平面向量的概念及线性运算 1．(2024·全国模拟)下列说法错误的是(　　) A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线 C．单位向量长度都相等 D．a，b，c均为非零向量，若a·b＝a·c，则b＝c 解析：D　[规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；方向相反的两个向量一定共线，故B正确；单位向量长度都为1，故C正确；当a·b＝a·c＝0时，a⊥b且a⊥c成立，但b＝c不一定成立，故D错误．] 2．(2024·北京101中学模拟)在边长为1的正方形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．2 解析：C　[|a－b＋c|＝|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.] 3．(2024·广东高三开学考试)在平行四边形ABCD中，点E、F分别满足＝，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 解析：A　[因为在平行四边形ABCD中，点E、F分别满足＝，＝， 所以＝－＝(＋)－(＋)，＝＝(－)＝(b－a)， 所以＝－ ＝a－b.] 4．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[如图， 由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.] 5．(2024·济宁市模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[∵O为BC的中点， ∴＝(＋) ＝(m＋n)＝＋， ∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.] 6．(多选)(2024·全国模拟)如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD, BC交于点F，H设＝a，＝b，则(　　) A.＝a＋b B.＝a＋b C.＝a－b D.＝a＋b 解析：ACD　[以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系， 设AB＝a，AC＝b，则A(0,0)，D，E，C(b,0)，B(0，a)，G. 又F为△ABE的重心，则F，直线AG的方程为y＝x，直线BC的方程为＋＝1， 联立解得H，则＝，＝，＝，＝， 因为a＝＝(0，a)，b＝＝(b,0)， 所以＝a＋b，＝a＋b，＝a－b，＝a＋b.] 7．(多选)在给出的下列命题中，正确的是(　　) A．设O，A，B，C是同一平面上的四个点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A，B，C必共线 B．若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ，λ∈R)，且表示方法是唯一的 C．已知平面向量，，满足·＝·，＝，则△ABC为等腰三角形 D．已知平面向量，，满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0，则△ABC是等边三角形 解析：ACD　[对于A，＝m·＋(1－m)·(m∈R)， ∴－＝m(－)，∴＝m，且有公共点C， ∴点A，B，C共线，命题A正确； 对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件a，b不共线，故B错误；对于C，由于·＝·，即·(－)＝0，·＝0， 得⊥，即OA为BC的垂线， 又由于＝，可得OA在∠BAC的角平分线上， 综合得△ABC为等腰三角形，故C正确； 对于D，平面向量，，满足||＝||＝||＝r(r＞0)，且＋＋＝0， ∴＋＝－， ∴2＋2·＋2＝2， 即r2＋2r2·cos〈，〉＋r2＝r2， ∴cos〈，〉＝－， ∴，的夹角为120°，同理，的夹角也为120°， ∴△ABC是等边三角形，故D正确．] 8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________． 解析：设＝y， ∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y). ∵＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈， ∵＝x＋(1－x)， ∴x＝－y， ∴x∈. 答案： 9．(2024·浙江模拟)在平行四边形ABCD中，E，F，G分别为边BC，CD，DA的中点，B，M，G三点共线．若＝a＋(6－2a)，则实数a的值为______． 解析：∵＝a＋(6－2a)，E，F，G分别为边BC，CD，DA的中点， ∴＝a(＋)＋(6－2a)· ＝3＋(12－3a)， ∵B，M，G三点共线， 3＋12－3a＝1，解得a＝. 答案： 10．(2024·全国模拟)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)，＝[m＋(1－m)]， 故m＋(1－m)＝m＋(1－m)，即m(－)＝(1－m)(－)， m＝(1－m)，即，共线，又，有公共点，则A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得＝λ，变形得－＝λ(－)，即(1＋λ)＝λ＋，＝＝＋，又＝m＋n，＋＝1，故m＋n＝1. [能力提升组] 11．已知O是△ABC所在平面内的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a ＋b ＋c ＝0，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：A　[∵＝－，＝－，∴a ＋b ＋c ＝a ＋b(－)＋c(－)＝b ＋c －(a＋b＋c)，而a ＋b ＋c ＝0，∴(a＋b＋c)＝b ＋c ，即＝ ＋，记＝c n1，＝b n2，其中n1，n2分别表示，方向上的单位向量，则＝(n1＋n2)，由该式可以看出AO平分∠BAC，同理可知BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，故O为内心．] 12．(多选)(2024·湖北省武汉市模拟)如图所示，B是AC的中点，＝2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且＝x＋y(x，y∈R)，以下结论中正确的是(　　) A．当P是线段CE的中点时，x＝－，y＝ B．当x＝－时，y∈ C．若x＋y为定值2时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段 D．x－y的最大值为－1 解析：CD　[依题意，＝＝－，＝2， A选项，当P是线段CE的中点时，＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋2)＝－＋，A选项错误； B选项，若＝－＋y(y∈R)， 设F，G分别是BC，DE的中点，连接GF并延长，交AO的延长线于A′， 则OE∥A′G，且＝＝2， 所以＝－， 则P点的轨迹是FG，＝，A′F＝OB，FG＝BE＝2OB，A′G＝OB， 所以y∈，B选项错误； C选项，＝x＋y(x，y∈R)，＝＋(x，y∈R)， 令＝m，＝n，OP的中点为Q，＝m＋n(m，n∈R)， 由于x＋y＝2，＋＝1，即m＋n＝1， 所以Q，A，B三点共线． 设H，I分别是BE，CD的中点，连接HI，OI，交BC于J，则HI∥BC∥DE， B是OH的中点，J是BC的中点，则Q点的轨迹是线段BJ，P点的轨迹是线段HI，所以C选项正确． D选项，＝x＋y(x，y∈R)， 由于平行四边形BCDE在OE的左上方，O，B，E三点共线，所以x≤0，y≥1， 故当x取得最大值0，y取得最小值1时，x－y取得最大值－1，D选项正确．] 13．(2024·徐水区模拟)如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M，N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且＝x＋y(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为______． 解析：∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴＝x＋y＝2x＋2y， ∵M，C，N三点共线， ∴2x＋2y＝1，即x＋y＝， ∴xy≤2＝， ∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝－2xy≥－＝. 答案： 14．(2024·安徽模拟)如图，在△ABC中，点O在边BC上，且OC＝2OB.过点O的直线分别交射线AB、射线AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n. (1)求2m＋n的值； (2)若＋≥2＋恒成立，求实数t的最小整数值． 解：(1)连接AO. 因为OC＝2OB，＝ m，＝n， 所以＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝m＋n. 因为M，O，N共线， 所以m＋n＝1,2m＋n＝3. (2)显然t＞0，所以＋≥2＋等价于＋≥， 即min≥. 因为＋＝(2m＋n) ＝≥1＋， 当且仅当n＝m， 即m＝3－，n＝3－3时，＋取到最小值1＋＝. 于是≥， ∴t≥6－3.故实数t的最小整数值是2. 学科网（北京）股份有限公司 $$