主题2 第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题二 函　数（必修第二册） 第四章　三角函数、解三角形 第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq \f(sin x,cos x)＝tan x. 2．掌握诱导公式，并会简单的应用． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：eq \f(sin α,cos α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)). 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α eq \f(π,2)－α eq \f(π,2)＋α 正弦 sin α 　－sin α　 　－sin α　 　cin α　 　cos α　 　cos α　 余弦 cos α 　－cos α　 　cos α　 　－cos α　 　cin α　 　－sin α　 正切 tan α 　tan α　 　－tan α　 　－tan α　 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． (2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (3)sin α＝tan αcos αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)). (4)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)； cos2α＝eq \f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(1,tan2α＋1). ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cos α)恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，则cos α＝－eq \f(1,3).(　　) (5)若sin(kπ－α)＝eq \f(1,3)(k∈Z)，则sin α＝eq \f(1,3).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．若sin α＝eq \f(5,13)，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　) A.eq \f(12,5)　　 B．－eq \f(12,5) C.eq \f(5,12)　　 D．－eq \f(5,12) 解析：D　[因为sin α＝eq \f(5,13)，且α为第二象限角，得cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13)， 所以tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝－eq \f(5,12).] 2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值等于(　　) A．－eq \f(2,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(5),3) D．±eq \f(\r(5),3) 解析：B　[因为eq \f(π,4)＋α 与 eq \f(π,4)－α 互余， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3).] 3．(BSD必修第二册P24练习T4改编)已知角α是第二象限角，sin α＝eq \f(5,13)，则cos α＝(　　) A．－eq \f(12,13) B．－eq \f(5,13) C.eq \f(5,13) D.eq \f(2,13) 解析：A　[因为角α是第二象限角，所以cos α＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(12,13).] 4．若sin θcos θ＝eq \f(1,2)，则tan θ＋eq \f(cos θ,sin θ)＝________. 解析：tan θ＋eq \f(cos θ,sin θ)＝eq \f(sin θ,cos θ)＋eq \f(cos θ,sin θ)＝eq \f(1,cos θsin θ)＝2. 答案：2 5．(对诱导公式理解不对致误)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)， 则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝________. 解析：cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α)))) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝－1＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(7,9). 答案：－eq \f(7,9) 　同角三角函数的基本关系 1．(2024·青海西宁)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－eq \f(5,13)，则eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝(　　) A.eq \f(2,3)　　 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(1,5)　　 D．－eq \f(1,5) 解析：B　[P点的纵坐标为－6＜0，且cos α＝－eq \f(5,13)＜0，所以P在第三象限，所以sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(12,13)， tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝eq \f(12,5)，eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝－eq \f(13,12)＋eq \f(5,12)＝－eq \f(8,12)＝－eq \f(2,3).] 2．(2024·菏泽模拟)若eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝2，则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cos θ)＝(　　) A．－eq \f(6,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(6,5) D.eq \f(2,5) 解析：C　[因为eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ)＝2，所以sin θ＝3cos θ， 所以sin θ，cos θ同号，即sin θcos θ＞0， sin2θ＋cos2θ＝9cos2θ＋cos2θ＝10cos2θ＝1， cos2θ＝eq \f(1,10)，从而sin2θ＝eq \f(9,10)， sin2θcos2θ＝eq \f(9,100)，所以sin θcos θ＝eq \f(3,10)， eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cos θ) ＝eq \f(sin θsin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θ,sin θ＋cos θ) ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ ＝eq \f(9,10)＋eq \f(3,10)＝eq \f(6,5).] 3．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝eq \f(1,5). (1)求tan α的值； (2)把eq \f(1,cos2α－sin2α)用tan α表示出来，并求其值． 解：(1)法一：联立方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＋cos α＝\f(1,5)，　①,sin2α＋cos2α＝1， 　②)) 由①得 cos α＝eq \f(1,5)－sin α，将其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(4,5)，,cos α＝－\f(3,5)，))∴tan α＝－eq \f(4,3). 法二：∵sin α＋cos α＝eq \f(1,5)， ∴(sin α＋cos α)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2，即1＋2sin αcos α＝eq \f(1,25)， ∴2sin αcos α＝－eq \f(24,25)， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25). ∵sin αcos α＝－eq \f(12,25)＜0，且0＜α＜π， ∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. ∴sin α－cos α＝eq \f(7,5). 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＋cos α＝\f(1,5)，,sin α－cos α＝\f(7,5)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(4,5)，,cos α＝－\f(3,5)，)) ∴tan α＝－eq \f(4,3). (2)eq \f(1,cos2α－sin2α)＝eq \f(sin2α＋cos2α,cos2α－sin2α) ＝eq \f(\f(sin2α＋cos2α,cos2α),\f(cos2α－sin2α,cos2α))＝eq \f(tan2α＋1,1－tan2α).∵tan α＝－eq \f(4,3)， ∴eq \f(1,cos2α－sin2α)＝eq \f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))2)＝－eq \f(25,7). (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cos α)＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 三角函数的诱导公式 1．(2024·福建福州模拟)点A(sin 2 024°，cos 2 024°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[sin 2 024°＝sin 224°＝－sin 44°＜0，cos 2 024°＝cos 224°＝－cos 44°＜0.] 2．设f(α)＝eq \f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) (1＋2sin α≠0)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝________. 解析：∵f(α)＝eq \f(－2sin α－cos α＋cos α,1＋sin2α＋sin α－cos2α) ＝eq \f(2sin αcos α＋cos α,2sin2α＋sin α)＝eq \f(cos α1＋2sin α,sin α1＋2sin α) ＝eq \f(1,tan α)(1＋2sin α≠0)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))) ＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq \f(1,tan\f(π,6))＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程 　也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角． (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”． [口诀助读] 诱导公式就是好，负化正后大化小； π的一半整数倍，奇数变化偶不变； 函数符号问象限，两个函数看左边． 诱导公式、同角三角函数关系式的活用 [典例]　(1)(2024·全国模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(1,2)为角θ终边上的一点，将角θ终边逆时针旋转eq \f(π,4)得到角β的终边，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2β)),1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2β)))＝(　　) A．－2 B．－eq \f(1,2) C．－1 D．2 [解析]　由题可知tan θ＝2， 所以tan β＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝eq \f(2＋1,1－2)＝－3， 则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2β)),1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2β)))＝eq \f(cos 2β,1＋sin 2β) ＝eq \f(cos2β－sin2β,sin2β＋cos2β＋2sin βcos β)＝eq \f(1－tan2β,tan2β＋1＋2tan β) ＝eq \f(1－tan β,1＋tan β)＝eq \f(1＋3,1－3)＝－2. [答案]　A (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－eq \f(1,5).求eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)的值． [解]　由已知，得sin x＋cos x＝eq \f(1,5)，两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝eq \f(1,25)， 整理得2sin xcos x＝－eq \f(24,25). ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝eq \f(49,25)， 由－π<x<0知，sin x<0， 又sin xcos x＝－eq \f(12,25)<0， ∴cos x>0，∴sin x－cos x<0， 故sin x－cos x＝－eq \f(7,5). ∴eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin xcos x＋sin x,1－\f(sin x,cos x)) ＝eq \f(2sin xcos xcos x＋sin x,cos x－sin x)＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175). 巧用相关角的关系、简化解题过程 (1)常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等． (2)常见的互补的角：eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ；eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等． 1．已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－2eq \r(2)，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq \r(2)cos2θ等于(　　) A．－eq \f(\r(2),6) B.eq \f(\r(2),6) C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3) 解析：D　[由tan 2θ＝－2eq \r(2)，可得tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－2eq \r(2)，即eq \r(2)tan2θ－tan θ－eq \r(2)＝0， 解得tan θ＝eq \r(2)或tan θ＝－eq \f(\r(2),2). 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝eq \r(2)， 故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq \r(2)cos2θ ＝sin2θ＋sin θcos θ－eq \r(2)cos2θ ＝eq \f(sin2θ＋sin θcos θ－\r(2)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq \f(tan2θ＋tan θ－\r(2),tan2θ＋1) ＝eq \f(\r(2)2＋\r(2)－\r(2),\r(2)2＋1)＝eq \f(2,3).] 2．(2023·全国乙卷)若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tan θ＝eq \f(1,2)， 则sin θ－cos θ＝________. 解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin θ＞0，cos θ＞0， 又因为tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝eq \f(1,2)，则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sin θ＝eq \f(\r(5),5)或sin θ＝－eq \f(\r(5),5)(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－eq \f(\r(5),5). 答案：－eq \f(\r(5),5) $$