主题2 第4章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

主题二 函　数（必修第二册） 第四章　三角函数、解三角形 第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题二 第四章　三角函数、解三角形 高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念的推广 (1)定义：平面内　一条射线　OA绕着它的　端点O　按箭头所示方向　旋转　到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的　始边　，射线OB是角α的　终边　. (2)按照角的旋转方向，角分为三类：正角、负角、零角． (3)按照角的终边在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角 .如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号　rad　表示，读作　弧度　.在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以　弧度　作为单位来度量角的方法，称作弧度制． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝eq \f(π,180) rad； ②1 rad＝　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°　 弧长公式 弧长l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝　eq \f(1,2)lr　＝　eq \f(1,2)|α|r2　 3.正弦函数、余弦函数的定义 (1)如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v ，横坐标u 都是唯一确定的，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值，仍记作v＝sin α ；把点P的横坐标u 定义为角α的余弦值，仍记作 u＝cos α. (2)设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝ eq \f(y,r)，cos α＝ eq \f(x,r) ，其中r＝eq \r(x2＋y2). 4．正切函数的定义 (1)根据函数的定义，比值 eq \f(sin x,cos x) 是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))). (2)在角α的终边上任取一点Q(x，y)(x≠0)，则由正切函数的定义，得tan α＝eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(y,x). 5．三角函数的符号 三角函数 正弦 余弦 正切 各象 限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 1．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则eq \f(α,2)所在象限如图： 2．一个结论：若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则tan α>α>sin α. ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (2)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (3)不相等的角终边一定不相同．(　　) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案： (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　 (5)√ ◆[小题查验] 1．(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A．160°　　　　　　　 B．480° C．－960° D．1 530° 解析：ABC　[480°＝360°＋120°；－960°＝－3×360°＋120°；1 530°＝4×360°＋90°.故属于第二象限角的是ABC.] 2．(BSD必修第二册P8练习T3改编)与－457°角终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z} 解析：C　[263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.] 3．设α角属于第二象限，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq \f(α,2)，则eq \f(α,2)角属于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　[∵α是第二象限角，∴90°＋k·360<α<180°＋k·360°，k∈Z， ∴45°＋k·180°<eq \f(α,2)<90°＋k·180°，k∈Z. 当k＝2n，n∈Z时，eq \f(α,2)在第一象限； 当k＝2n＋1，n∈Z时，eq \f(α,2)在第三象限， ∴eq \f(α,2)在第一象限或在第三象限，∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))) ＝－coseq \f(α,2)，∴coseq \f(α,2)<0，∴eq \f(α,2)角在第三象限．] 4．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为________． 解析：由弧长公式l＝αr，得α＝eq \f(l,r)＝eq \f(144,120)＝1.2弧度． 答案：1.2 5．(忽视对角终边位置的讨论致误)若α的终边所在直线经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(3π,4)，sin \f(3π,4)))，则sin α＝__________. 解析：∵直线经过二、四象限，又点P在单位圆上，若α的终边在第二象限，则sin α＝sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)，若α的终边在第四象限，∴sin α＝－eq \f(\r(2),2)，综上可知sin α＝±eq \f(\r(2),2). 答案：±eq \f(\r(2),2) 角的集合表示及象限角的判定 [典例]　(1) (多选)如果角α与角γ＋45°的终边相同，角β与γ－45°的终边相同，那么α－β的可能值为(　　) A．90°　　 B．360° C．450°　　 D．2 330° [解析]　(1) 因为角α与角γ＋45°的终边相同，故α＝γ＋45°＋k·360°，其中k∈Z， 同理β＝γ－45°＋k1·360°，其中k1∈Z，故α－β＝90°＋n·360°，其中n∈Z， 当n＝0或n＝1时，α－β＝90°或α－β＝450°，故A、C正确； 令360°＝90°＋n·360°，此方程无整数解n； 令2 330°＝90°＋n·360°，即56＝9n，此方程无整数解n，故B、D错误． [答案]　AC (2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是________，角2α的终边所在位置是________． [解析]　由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴－eq \f(3π,2)－2kπ＜－α＜－π－2kπ，即eq \f(π,2)＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)，∴角－α的终边在第二象限．由π＋2kπ＜α＜eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)， ∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴． [答案]　第二象限　第一、二象限及y轴的非负半轴 [互动探究] 在本例(2)的条件下，角eq \f(α,3)终边所在的位置是　________　. 解析：因为π＋2kπ＜α＜eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以eq \f(π,3)＋eq \f(2kπ,3)＜eq \f(α,3)＜eq \f(π,2)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)． 当k＝3n(n∈Z)时，eq \f(π,3)＋2nπ＜eq \f(α,3)＜eq \f(π,2)＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ＜eq \f(α,3)＜eq \f(7π,6)＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，eq \f(5π,3)＋2nπ＜eq \f(α,3)＜eq \f(11,6)π＋2nπ(n∈Z)． 综上，eq \f(α,3)的终边在第一、三、四象限． 答案：第一、三、四象限 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (2)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (3)已知角α终边所在的象限，求2α、eq \f(α,2)、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、eq \f(α,2)、π－α等的范围，再根据范围确定象限． 1．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))， N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 解析：B　[由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.] 2．(2024·河南焦作市模拟)已知角α的终边与300°角的终边重合，则eq \f(α,3)的终边不可能在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：A　[因为角α的终边与300°角的终边重合，所以α＝300°＋k·360°，k∈Z，所以eq \f(α,3)＝100°＋k·120°，k∈Z， 令k＝0，eq \f(α,3)＝100°，终边位于第二象限；令k＝1，eq \f(α,3)＝220°，终边位于第三象限， 令k＝2，eq \f(α,3)＝340°，终边位于第四象限，令k＝3，α＝100°＋360°，终边位于第二象限， … 所以eq \f(α,3)的终边不可能在第一象限．] 　扇形的弧长及面积公式 [典例]　已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ [关键突破点]　建立扇形的面积S与其半径r的函数关系式求解． [解]　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. 又S＝eq \f(1,2)θr2＝eq \f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． [互动探究] 本例条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l. 解：设半径为r.则由eq \f(6,r)＝sin 60°， ∴r＝4eq \r(3)，∴l＝|α|·r＝eq \f(8\r(3),3)π. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． (2024·全国模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2 m，则该扇环形屏风的面积为________m2. 解析：设扇形的圆心角为α，内环半径为r m，外环半径为Rm，则R－r＝1.2 m， 由题意可知α·r＝1.2 m，α·R＝3.6 m， 所以α(R＋r)＝4.8 m， 所以该扇环形屏风的面积为： S＝eq \f(1,2)α(R2－r2)＝eq \f(1,2)α(R＋r)(R－r)＝eq \f(1,2)×4.8×1.2＝2.88 m2. 答案：2.88 三角函数的定义 [母题]　设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，则 sin α的值为_____． [解析]　第一步：利用两点间的距离公式求出点P到坐标原点的距离r. 设P与原点的距离为r，∵P(－4a,3a)，a＜0， ∴r＝eq \r(－4a2＋3a2)＝|5a|＝－5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sin α的值． ∴sin α＝eq \f(3a,－5a)＝－eq \f(3,5). [答案]　－eq \f(3,5) [子题1]　若母题中“a＜0”，改为“a≠0”，则sin α的值为______． 解析：当a＜0时，sin α＝－eq \f(3,5)；当a＞0时，r＝5a， sin α＝eq \f(3,5). 答案：－eq \f(3,5)或eq \f(3,5) [子题2]　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)， 当a＞0时，r＝5a，sin α＝eq \f(3,5)，cos α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)； 当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－eq \f(3,5)，cos α＝eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4). [子题3]　已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　) A．(2cos θ，sin θ) B．(－2cos θ，2sin θ) C．(－2cos θ，－2sin θ) D．(2cos θ，－2sin θ) 解析：C　[由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos θ，2sin θ)，其中|OM′|＝2. 因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos θ，－2sin θ)．] 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． 三角函数值的符号 1．下列各选项中正确的是(　　) A．sin 300°>0 B．cos(－305°)<0 C．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)π))>0 D．sin 10<0 解析：D　[300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；而－eq \f(22,3)π＝－8π＋eq \f(2,3)π，所以－eq \f(22,3)π是第二象限角，故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)π))<0，因为3π<10<eq \f(7,2)π，所以10是第三象限角，故sin 10<0.] 2．(2024·淄博模拟)θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是(　　) A．sineq \f(θ,2) B．coseq \f(θ,2) C．sin 2θ D．cos 2θ 解析：C　[因为θ是第二象限角，所以2kπ＋eq \f(π,2)＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，则4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，k∈Z，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上，所以sin 2θ<0，cos 2θ的符号不确定．而kπ＋eq \f(π,4)＜eq \f(θ,2)＜kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，eq \f(θ,2)是第一象限或第三象限角，正弦值、余弦值不一定是负数．] 3．(2024·湖北武汉模拟)已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边上一点P(sin 3，cos 3)，若0≤α≤2π，则α＝(　　) A．3 B.eq \f(π,2)－3 C.eq \f(5π,2)－3 D．3－eq \f(π,2) 解析：C　[因为角α的终边上一点P(sin 3，cos 3)， 所以tan α＝eq \f(cos 3,sin 3)＝eq \f(1,tan 3)＜0，又cos 3＜0，sin 3＞0，所以α为第四象限角，所以α＝2kπ＋eq \f(π,2)－3，k∈Z，又因0≤α≤2π，所以α＝eq \f(5π,2)－3.] 熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． $$