专题1-6 几何法求线面角与二面角，面面角【7类题型】- 2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习核心题型突破（人教版必修第二册）

2023-2024学年高一下学期期中期末复习核心题型突破 专题1-6 几何法求线面角与二面角，面面角 二面角的解法是立体几何的一个重点内容，它能有效地培养学生的空间想象、几何直观、逻辑推理、运算求解等能力。如果教师能引导学生一题多解，更能充分提升他们思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性等，进而促进创新思维的形成。 总览 题型解读 题目均选自大市统考或名校试卷 【题型1】 点到平面距离的相关计算 1 【题型2】 求线面角 2 【题型3】 求二面角与面面角 6 【题型4】 已知线面角求其它量 13 【题型5】 由二面角求其它量 17 【题型6】 一题多解 22 【题型7】 动点与线面角，二面角 24 【题型1】 点到平面距离的相关计算 定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。 作用：(1)求几何体的体积；(2)求直线与平面所成的角：(3)求二面角 方法一：直接法，根据题意得到平面外一点在平面内的射影，建立三角形，解出长度 方法二：等体积法 方法三：利用垂直的性质定理，找出点在平面内的射影 1． （2023·重庆西南大学附属中学·期末）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB＝1，，E为PD的中点，点N在平面PAC内，且NE⊥平面PAC，则点N到平面PAB的距离为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（22-23高一下·重庆渝中·期中）如图，正四棱柱中，，，点P是棱的中点，点M在棱上.    (1)当点M在什么位置时，的值最小？并求出这个最小值； (2)当最小时，求点到平面的距离． 【巩固练习2】（22-23高一下·浙江杭州·期中）三棱柱的棱长都为2，D和E分别是和的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，点B到平面的距离为，求三棱锥的体积． 【题型2】 求线面角 线面角定义： AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，BC是直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角． 线面角的取值范围： 求解线面角方法： 1.直接法 根据线面角的定义，斜线与射影所成的角即为线面角，直接法根据垂线，斜线，射影构成的直角三角形解题. 2.等体积法 对于垂线段较难找出的问题，利用等体积法可以求出垂线段长度，设斜线与平面所成的角为θ，垂线长度h，斜线长l，则sinθ=h/l. 3.转化法 垂线段的长度是点到面的距离，可以利用线面平行，线上的点到面的距离都相等的这一性质，将该点或面进行转化或者按比例进行转化. 4.投影法 斜线段与它在平面上的投影构成的角称为线面角，与另一条边（不一定是垂线段），构成三角形，利用解三角形求出线面角，投影通过找出一个斜线所在面与已知面垂直，两平面交线即为投影的方法确定. 5.角度互余 利用斜线与平面所成的角和斜线与平面的垂线的夹角的互余关系求解线面角. 6.补体法 把不规则图形转化为规则的熟悉的图形，进而求解线面角. 2． （2023·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥，使，，三点重合，重合后的点记为G，则异面直线SG与EF所成的角为 ，直线SG与平面SEF所成角的正弦值为 .    3． （2023·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线与平面所成角的正弦值为 .    4． （2023·巴蜀中学·期末）如图；正四棱柱中；；点为的中点．    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成线面角的正弦值． 5． （2023·长沙一中期末）如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【巩固练习1】（2023·湖北武汉·期末）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，，侧面是正三角形，侧棱长，如图所示． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【巩固练习2】（2023·浙江杭州·期末）已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 ；直线与直线所成角的余弦值为 . 【巩固练习4】（2023·广东·期末）如图，在三棱柱中，平面，，M是AB的中点，．    (1)证明：直线CM⊥平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【巩固练习3】（2023·重庆七校联考·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，为中点，为线段上的点，且.    (1)求证:平