第6章 第6讲 空间直角坐标系、空间向量及其运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

第6节 空间直角坐标系、空间向 量及其运算 第六章 立体几何与空间向量 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.空间直角坐标系 (1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． (2)借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 2．空间向量及其运算 (1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． (2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3．向量基本定理及坐标表示 (1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示 1.空间向量的线性运算，达成直观想象和数学建模的素养． 2．共线、共面向量定理及应用，增强直观想象、逻辑推理的素养． 3．空间向量的数量积及应用，提升数学运算、逻辑推理和数学建模的素养 　　2024年高考预计考查：1.空间向量的线性运算.2.向量共线、共面的条件.3.空间向量的模、夹角及数量积的应用.4.在解答题中用到空间向量的基本运算，求空间角及距离．要求熟记公式正确运用．题型多与解答题结合出题，间或有选择题、填空题，难度一般不会太大，属中低档题型 1．空间直角坐标系 (1)定义：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与　xOy平面　垂直的数轴　z　轴．这样建立的空间直角坐标系记作O－xyz. (2)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的　横坐标(或x坐标)　，y叫做点M的　纵坐标(或y坐标)　，z叫做点M的　竖坐标(或z坐标)　. (3)空间两点间距离 ①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝　eq \r(x2＋y2＋z2)　. ②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝　eq \r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)　. 2．空间向量的有关概念 名称 定义及表示 零向量 　始点　和　终点　相同的向量称为零向量，记作0. 单位向量 　模为1　的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量，称为a的相反向量记为－a 相等向量 大小　相等　、方向　相同　的向量称为相等向量． 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行. 共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面. 3.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋b； eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝a－b；eq \o(OP,\s\up16(→))＝λa(λ∈R)． (2)运算律：a.加法交换律：a＋b＝b＋a； b．加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； c．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．关于空间向量的有关定理 定理 语言描述 共线向量定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa 共面向量定理 如果两个向量a、b　不共线　，则向量c，a，b共面的充要条件是，存在　唯一　的一对实数x，y，使　c＝xa＋yb　 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c　不共面　，那么对空间中的任意一个向量p，存在一个　唯一　的有序实数组x，y，z，使　p＝xa＋yb＋zc　 5.空间向量的夹角及取值范围 空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝eq \f(π,2)，那么向量a，b　互相垂直　，记作a⊥b. 6. 空间向量的数量积及性质 (1)空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b. (2)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (3)空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a(交换律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 7．空间向量的运算与坐标的关系 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)　 数乘 ua＋vb 若u，v是两个实数，ua＋vb＝　(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)　 模 |a| |a|＝eq \r(a·a)＝　eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))　 数量积 a·b a·b＝　x1x2＋y1y2＋z1z2　 夹角公式 cos〈a，b〉 cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2))) 平行 a∥b a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔ ，当a∥b⇔　eq \f(x2,x1)＝eq \f(y2,y1)＝eq \f(z2,z1)　.(x，y，z≠0) 垂直 a⊥b a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 1．中点坐标公式：设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))). 2．点共线和点共面问题 (1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三个点共线，即证明eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线． (2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明eq \o(PA,\s\up16(→))＝xeq \o(PB,\s\up16(→))＋yeq \o(PC,\s\up16(→))，或对空间任一点O，有eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(OP,\s\up16(→))＋xeq \o(PB,\s\up16(→))＋yeq \o(PC,\s\up16(→))，或eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))(x＋y＋z＝1)即可． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→))＝0.(　　 ) (2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　 ) (3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　 ) (4)对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　 ) (5)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　 ) (6)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．有下列命题： ①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb； ③若eq \o(MP,\s\up16(→))＝xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→))，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则eq \o(MP,\s\up16(→))＝xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→)). 其中真命题的个数是(　　) A．1　　B．2　　C．3　　 D．4 解析：B　[其中①③为正确命题．] 2．已知a＝(1，－1,1)，b＝(－2,4,6)，则2 024(a·b)的值为　________　. 解析：因为a＝(1，－1,1)，b＝(－2,4,6)， 所以2 024(a·b)＝2 024×(－2－4＋6)＝0. 答案：0 3．(教材改编)如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c，则下列向量中与eq \o(BM,\s\up16(→))相等的向量是(　　 ) A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c 解析：A　[eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))＋eq \o(B1M,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝c＋eq \f(1,2)(b－a)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.] 4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为　________　. 解析：|eq \o(EF,\s\up16(→))|2＝eq \o(EF,\s\up16(→))2＝(eq \o(EC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→)))2 ＝eq \o(EC,\s\up16(→))2＋eq \o(CD,\s\up16(→))2＋eq \o(DF,\s\up16(→))2＋2(eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))·eq \o(DF,\s\up16(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|eq \o(EF,\s\up16(→))|＝eq \r(2)，∴EF的长为eq \r(2). 答案：eq \r(2) 5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CA,\s\up16(→))的夹角θ的大小是　________　. 解析：由题意知eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－2，－1,3)，eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－1,3，－2)， 故cos θ＝CA,\s\up16(→))eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(CA,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|||) ＝eq \f(－7,14)＝－eq \f(1,2). 因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(2,3)π. 答案：eq \f(2,3)π 空间向量的线性运算(基础点) 1．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，用a，b，c表示向量eq \o(MN,\s\up16(→))＝　________________　. 解析：如图所示， eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(MC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)[(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→)))＋(eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→)))]＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))－2 eq \o(OM,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(b＋c－a)． 答案：eq \f(1,2)(b＋c－a) 2．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且eq \o(MG,\s\up16(→))＝2eq \o(GN,\s\up16(→))，现用基底{eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))}表示向量eq \o(OG,\s\up16(→))，有eq \o(OG,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))，则x，y，z的值分别为　________　. 解析：如图， ∵eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(MG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(MN,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(ON,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→))) ＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up16(→))＋\o(OC,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→)))) ＝eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up16(→))， ∴x＝eq \f(1,6)，y＝eq \f(1,3)，z＝eq \f(1,3). 答案：eq \f(1,6)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3) 3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简eq \o(A1O,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝　________　； (2)用eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))表示eq \o(OC1,\s\up16(→))，则eq \o(OC1,\s\up16(→))＝　________　. 解析：(1)eq \o(A1O,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝(eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(AO,\s\up16(→)))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(A1A,\s\up16(→)). (2)解法1：eq \o(OC1,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)). 解法2：eq \o(OC1,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))－eq \o(CO,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(CC1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)). 答案：(1)eq \o(A1A,\s\up16(→))　(2)eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)) 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 共线、共面向量定理及应用(应用点) [典例]　如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心． (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [解]　(1)证明：分别连接PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点． 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心． 所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有： eq \o(PE,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(PM,\s\up16(→))，eq \o(PF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(PN,\s\up16(→))，eq \o(PG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(PQ,\s\up16(→))，eq \o(PH,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(PR,\s\up16(→)). 因为四边形MNQR是平行四边形，所以 eq \o(MQ,\s\up16(→))＝eq \o(MN,\s\up16(→))＋eq \o(MR,\s\up16(→))＝eq \f(3,2)(eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(EH,\s\up16(→)))． 又eq \o(MQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \o(PM,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(EG,\s\up16(→))， 所以eq \f(3,2) eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \f(3,2)(eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(EH,\s\up16(→)))， 即eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \o(EF,\s\up16(→))＋eq \o(EH,\s\up16(→))，由共面向量定理知E、F、G、H四点共面． (2)由(1)得eq \o(MQ,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(EG,\s\up16(→))，所以eq \o(MQ,\s\up16(→))∥eq \o(EG,\s\up16(→)). 又因为EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD. 因为eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(PN,\s\up16(→))－eq \o(PM,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(PF,\s\up16(→))－eq \f(3,2) eq \o(PE,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(EF,\s\up16(→))，所以MN∥EF，又因为EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 由于EG与EF交于E点， 所以平面EFGH∥平面ABCD. 空间共线向量定理、共面向量定理的应用 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 eq \o(PA,\s\up16(→))＝λeq \o(PB,\s\up16(→)) eq \o(MP,\s\up16(→))＝xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋teq \o(AB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋xeq \o(MA,\s\up16(→))＋yeq \o(MB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－x)eq \o(OB,\s\up16(→)) 对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OM,\s\up16(→))＋yeq \o(OA,\s\up16(→))＋(1－x－y)eq \o(OB,\s\up16(→)) 如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点． (1)试用向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))表示eq \o(AG,\s\up16(→))； (2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C. 解：(1)设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c. 由图得eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→))＋eq \o(D1G,\s\up16(→)) ＝c＋b＋eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)a＋b＋c ＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)). (2)证明　由题图，得eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝a＋b， eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \o(ED1,\s\up16(→))＋eq \o(D1G,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))， ∵EG与AC无公共点， ∴EG∥AC，∵EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C， ∴EG∥平面AB1C. 又∵eq \o(AB1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))＝a＋c， eq \o(FG,\s\up16(→))＝eq \o(FD1,\s\up16(→))＋eq \o(D1G,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)c＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,2) eq \o(AB1,\s\up16(→))， ∵FG与AB1无公共点， ∴FG∥AB1， ∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C， ∴FG∥平面AB1C， 又∵FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面AB1C. 空间向量的数量积及应用(应用点) ◆[命题角度1]　求空间向量的数量积　 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝(　　) A．a2　　　B.eq \f(1,2)a2　　　C.eq \f(1,4)a2　　　D.eq \f(\r(3),4)a2 解析：C　[设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°. 又eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)c， 故eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)·eq \f(1,2)c＝eq \f(1,4)(a·c＋b·c) ＝eq \f(1,4)(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝eq \f(1,4)a2.] 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. ◆[命题角度2]　利用数量积求长度　 2．(2024·绵阳质检)如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A.eq \r(3)　　　 B.eq \r(2)　　 C．1　　　 D.eq \r(3－\r(2)) 解析：D　[∵eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BF,\s\up16(→))＋eq \o(FE,\s\up16(→))＋eq \o(ED,\s\up16(→))， ∴|eq \o(BD,\s\up16(→))|2＝|eq \o(BF,\s\up16(→))|2＋|eq \o(FE,\s\up16(→))|2＋|eq \o(ED,\s\up16(→))|2＋2eq \o(BF,\s\up16(→))·eq \o(FE,\s\up16(→))＋2eq \o(FE,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＋2eq \o(BF,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＝1＋1＋1－eq \r(2)＝3－eq \r(2)， 故|eq \o(BD,\s\up16(→))|＝eq \r(3－\r(2)).] 3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(MC1,\s\up16(→))，N为B1B的中点，则|eq \o(MN,\s\up16(→))|为(　　) A.eq \f(\r(21),6)a B.eq \f(\r(6),6)a C.eq \f(\r(15),6)a D.eq \f(\r(15),3)a 解析：A　[以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).设M(x，y，z)． ∵点M在AC1上且eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(MC1,\s\up16(→))， ∴(x－a，y，z)＝eq \f(1,2)(－x，a－y，a－z) ∴x＝eq \f(2,3)a，y＝eq \f(a,3)，z＝eq \f(a,3).∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))). ∴|eq \o(MN,\s\up16(→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))2) ＝eq \f(\r(21),6)a.] 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． ◆[命题角度3]　利用数量积求夹角　 4．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq \r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：C　[由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又|a|＝eq \r(12＋22＋32)＝eq \r(14)，所以cos〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝－eq \f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°.] 5．(2024·中山模拟)已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为　________　. 解析：由于a与2b－a互相垂直，则a·(2b－a)＝0，即2a·b－a2＝0，所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，则4eq \r(2)cos〈a，b〉－4＝0，则cos〈a，b〉＝eq \f(\r(2),2)，所以a与b的夹角为45°. 答案：45° 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角． ◆[命题角度4]　解决平行或垂直问题　 6．(2024·黄冈市模拟)已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　) A.eq \f(3,2) B．－2 C．0 D.eq \f(3,2)或－2 解析：B　[当m＝0时，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)， a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b， ∴eq \f(2m＋1,2)＝eq \f(3,m)＝eq \f(m－1,－m)，解得m＝－2.] 7．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为(　　) A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(9,2) D.eq \f(7,5) 解析：D　[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，由题意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝eq \f(7,5).] 利用向量平行或垂直的坐标表示，将平行或垂直问题转化为向量的坐标运算． $$