第6章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

第3节 空间点、直线、平面之间的 位置关系 第六章 立体几何与空间向量 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 立体几何与空间向量 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1.平面的基本性质及应用，增强逻辑推理和数学抽象的素养． 2．空间两直线的位置关系，达成直观想象和逻辑推理的素养． 3．异面直线所成的角，提升直观想象、数学抽象和数学运算的素养 　　2025年高考预计以几何体为载体，考查与点、线、面的位置关系等有关命题真假的判断、求异面直线所成的角是高考考查的重点．判断空间线面的位置关系可以用相关定理进行判断．也可以构造长方体模型来判断，还可以直接举反例来判断．题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型 一、构成空间几何体的基本元素 1．空间几何体的基本元素 长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也简称为“体”)，包围着几何体的都是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象．　点、线、面　是构成空间几何体的基本元素． 2．空间中的两条直线a，b的位置关系 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a∩b＝∅⇒\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a与b平行,a与b异面)),a∩b≠∅⇒a与b相交)) 3．直线a与平面α的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a∩α＝∅⇒a∥α,a∩α≠∅⇒\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a与α相交,a在α内)))) 4．平面α与平面β的位置关系eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α∩β＝∅⇒α与β平行,α∩β≠∅⇒α与β相交)) 5．直线与平面垂直： (1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面，记作l⊥α)，其中点A称为垂足． (2)点面距：若点A是平面α外一点，AB⊥α，B为垂足，则线段AB的长为点A到平面α的距离． (3)线面距、面面距转化为点面距． 二．平面的基本事实与推论 1．三个基本事实 图形 文字语言 符号语言 基本 事实1 过　不在一条直线上　的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的　两个点　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条　过该点的公共直线　 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.三个推论 (1)经过一条直线和　直线外的一点有且只有　一个平面． (2)经过两条　相交　直线　有且只有　一个平面． (3)经过两条　平行　直线　有且只有　一个平面． 三、平行直线与异面直线 1．平行直线 (1)定义：在同一平面内　不相交　的两条直线称为平行直线． (2)空间平行线的传递性 ①文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相　平行　. ②符号表述：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))⇒b∥c. 2．异面直线 (1)定义：两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在　任何一个平面内　. (2)异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个　平面　衬托，如图所示． (3)判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内　不经过交点　的直线异面． 3．异面直线所成的角 (1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b　平行或重合　的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． (2)异面直线所成角θ的取值范围：　0°<θ≤90°　. 四、等角定理 文字表述：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应　平行　，并且方向　相同　，那么这两个角　相等　. 五、空间四边形 1．定义：　顺次　连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的　顶点　，连接　相邻　顶点间的线段称为空间四边形的边，连接　不相邻　顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示　顶点　的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为　AB，BC，CD，DA　，对角线为　AC，BD　. 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) (3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (5)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× ◆[小题查验] 1．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α 解析：C　[A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误；B中，m与n也有可能平行，B错误；C中，根据线面平行的性质可知C正确；D中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.] 2．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　 ) A．空间四边形　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：B　[顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形．] 3．如图正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点则这四个点不共面的一个图是(　　) 解析：D　[A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．] 4．(教材改编)已知直线a，b，c，有下面四个命题： ①若a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的序号是　__________　. 解析：①a，c可能相交、平行或异面；②a，c可能相交、平行或异面；③正确；④a，c可能相交、平行或异面． 答案：③ 5．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则 (1)点A到平面DCC1D1的距离为　________　； (2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为　________　； (3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为　________　. 解析：(1)因为AD⊥平面DCC1D1，所以点A到平面DCC1D1的距离为AD＝4 cm. (2)因为AA1∥平面BCC1B1，所以直线AA1到平面BCC1B1的距离为点A到到平面BCC1B1的距离AB＝6 cm. (3)因为面ABCD∥面A1B1C1D1，所以平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为点A到平面A1B1C1D1的距离A1A＝3 cm. 答案：(1)4 cm　(2)6 cm　(3)3 cm 　平面的基本性质及应用(应用点) [命题角度1]　证明点、线共面　 1．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，因为G、H分别为FA、FD的中点，所以GH∥AD且GH＝eq \f(1,2)AD， 又BC∥AD且BC＝eq \f(1,2)AD， 故GH∥BC且GH＝BC， 所以四边形BCHG是平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面．理由如下： 由BE∥AF且BE＝eq \f(1,2)AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH， 故EC，FH共面．又点D在直线FH上， 所以C，D，F，E四点共面． 点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余点或直线也在这个平面内． (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． (3)反证法． 提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明． 1．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线　 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：A　[连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1. 因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．] [命题角度2]　证明三线共点　 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点， 求证：(1)E，C，D1，F四点共面． (2)CE，D1F，DA交于一点． 证明：(1)如图， 连接CD1，EF，A1B， 因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝eq \f(1,2)A1B. 又因为A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1， 所以EF∥CD1， 即EF与CD1确定一个平面α. 且E，F，C，D1∈α， 即E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)可知，EF∥CD1，且EF＝eq \f(1,2)CD1， 所以四边形CD1FE是梯形． 所以CE与D1F必相交．设交点为P，如图， 则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA交于一点． 证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线． 2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E，F，G的平面交AD于点H. (1)求AH∶HD； (2)求证：EH，FG，BD三线共点． 解：(1)∵eq \f(AE,EB)＝eq \f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC， ∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH， 平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH，∴AC∥GH. ∴eq \f(AH,HD)＝eq \f(CG,GD)＝3，∴AH∶HD＝3∶1. (2)证明：∵EF∥GH，且eq \f(EF,AC)＝eq \f(1,3)，eq \f(GH,AC)＝eq \f(1,4)， ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形． 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD， 又P∈FG，FG⊂平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD，∴EH，FG，BD三线共点． [命题角度3]　证明三点共线　 3．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD.在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝eq \f(1,2)， ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C三点共线． 证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线． 3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线． 证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β. 又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点， 因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， 所以E，F，G，H四点必定共线． 　空间两直线的位置关系(基础点) 1．下列命题中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解：B　[当l与α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，故①不对； 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．] 2．(2023·上海春招)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　) A．DD1　 B．AC　 C．AD1　 D．B1C 解析：B　[对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．] 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠eq \r(2)，有以下四个结论： ①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线． 其中正确结论的序号是　________　.(注：把你认为正确命题的序号都填上) 解析：过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，(图略)可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，(图略)则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③. 答案：①③ 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 提醒：(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交； (2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线． 　异面直线所成的角(迁移点) [母题]　如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) [解析]　D　[连接BC1，易证 BC1∥AD1， 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝eq \r(2)，A1B＝BC1＝eq \r(5)，故cos∠A1BC1＝eq \f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5).] [子题1]　将母题条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”， 则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　________　. 解析：由平面ABCD内仅有一点到A1的距离为1，则AA1＝1.此时正四棱柱变为正方体ABCD－A1B1C1D1，由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1. 则△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°， ∴cos∠A1BC1＝eq \f(1,2)，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq \f(1,2). 答案：eq \f(1,2) [子题2]　将母题条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq \f(9,10)”，则eq \f(AA1,AB)的值为　________　. 解析：设eq \f(AA1,AB)＝t，则AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t，由题意知∠A1BC1为所求， 又A1C1＝eq \r(2)，A1B＝eq \r(t2＋1)＝BC1， ∴cos ∠A1BC1＝eq \f(t2＋1＋t2＋1－2,2×\r(t2＋1)×\r(t2＋1))＝eq \f(9,10)， ∴t＝3，即eq \f(AA1,AB)＝3. 答案：3 [子题3]　在母题条件下，若点P在平面A1B1C1D1内且不在对角线B1D1上，过点P在平面A1B1C1D1内作一直线m，使m与直线BD成α角，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).这样的直线可作　________　条． 解析：在平面A1B1C1D1内作m，使m与B1D1相交成α角．∵BD∥B1D1，∴直线m与BD也成α角，即m为所求．且m与BD是异面直线，当α＝eq \f(π,2)时，m只有1条，当α≠eq \f(π,2)时，这样的直线有2条． 答案：2 异面直线所成角的求解技巧 求异面直线所成的角采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．其求解一般步骤为： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角； (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； (4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 1．(2024·沧州模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD＝eq \f(π,3)，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为(　　) A.eq \f(1,3)　　B.eq \f(\r(2),4)　　C.eq \f(\r(6),4)　　D.eq \f(\r(6),3) 解析：C　[如图，连接AD，BC，AC，SC. 因为O为AB，CD中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形， 所以DB∥AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角． 设圆O的半径为1，则SA＝SC＝eq \r(2). 因为∠AOD＝eq \f(π,3)，所以∠ADO＝eq \f(π,3). 在直角△DAC中，CD＝2，得AC＝eq \r(3). 所以cos∠SAC＝eq \f(\r(2)2＋\r(3)2－\r(2)2,2×\r(2)×\r(3))＝eq \f(\r(6),4)， 所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为eq \f(\r(6),4).] 2．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为　________　. 解析：如图，在三棱锥A－BCD中，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝eq \f(1,2)AB.PN∥CD，且PN＝eq \f(1,2)CD， 所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)． 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. ①若∠MPN＝60°， 因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．又因为AB＝CD，所以PM＝PN， 则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°， 即AB与MN所成的角为60°. ②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°， 即AB与MN所成的角为30°. 综上直线AB和MN所成的角为60°或30°. 答案：60°或30° $$