第6章 第7节 第2课时 求空间角和距离-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第二课时　求空间角和距离

一、空间距离

1．两点间的距离

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.

2．点到直线的距离

n0是直线l的单位方向向量，A∈l，则点P到直线l的距离d＝.

3．点到平面的距离

(1)给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面α的距离．

(2)一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝.

4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，

则直线l与平面α之间的距离为d＝.

(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．

如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝.

二、空间角

1．异面直线所成的角

异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是v1，v2，则cos θ＝　|cos 〈v1，v2〉|　＝　.　

2．直线和平面所成角的求法

直线l与平面α相交，设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝　|cos 〈v，n〉|　＝　　，如图．

3．二面角

(1)二面角的定义与记法：从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形称为二面角，这条直线叫二面角的　棱　，这两个半平面叫二面角的　面　，如图所示的二面角记作：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q.

(2)二面角的平面角：

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.其取值范围是　0°≤α≤180°　.平面角是直角的叫做　直二面角　.

(3)平面与平面所成角的定义与向量求法：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中　不大于90°　的二面角称为平面α与平面β所成的角．设平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β所成的角即为向量n1和n2的　夹角　或　其补角　.设平面α与平面β所成的角为θ，则cos θ＝　|cos〈n1，n2〉|　＝ ，如图．

◆[思考辨析]

　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　 )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　 )

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　 )

(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

◆[小题查验]

1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．2　　

C．2  D．3

解析：D　[建立如图所示的空间直角坐标系，连接A1E，BE，作EH⊥A1B于H，则A1(4,0,4)，B(4,4,0)，E(0,4,2)，

∴＝(－4,4，－2)，＝(0,4，－4)，

∴||＝＝6，||＝＝4.