第6章 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第6节　空间直角坐标系、空间向量及其运算 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.空间直角坐标系 (1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． (2)借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 2．空间向量及其运算 (1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． (2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3．向量基本定理及坐标表示 (1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示 1.空间向量的线性运算，达成直观想象和数学建模的素养． 2．共线、共面向量定理及应用，增强直观想象、逻辑推理的素养． 3．空间向量的数量积及应用，提升数学运算、逻辑推理和数学建模的素养 　　2025年高考预计考查：1.空间向量的线性运算.2.向量共线、共面的条件.3.空间向量的模、夹角及数量积的应用.4.在解答题中用到空间向量的基本运算，求空间角及距离．要求熟记公式正确运用．题型多与解答题结合出题，间或有选择题、填空题，难度一般不会太大，属中低档题型 1．空间直角坐标系 (1)定义：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与　xOy平面　垂直的数轴　z　轴．这样建立的空间直角坐标系记作O－xyz. (2)空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的　横坐标(或x坐标)　，y叫做点M的　纵坐标(或y坐标)　，z叫做点M的　竖坐标(或z坐标)　. (3)空间两点间距离 ①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝　　. ②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝　　. 2．空间向量的有关概念 名称 定义及表示 零向量 　始点　和　终点　相同的向量称为零向量，记作0. 单位向量 　模为1　的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度　相等　而方向　相反　的向量，称为a的相反向量记为－a 相等向量 大小　相等　、方向　相同　的向量称为相等向量． 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行. 共面向量 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面. 3.空间向量的线性运算及运算律 (1)线性运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b；＝λa(λ∈R)． (2)运算律：a.加法交换律：a＋b＝b＋a； b．加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； c．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．关于空间向量的有关定理 定理 语言描述 共线向量定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa 共面向量定理 如果两个向量a、b　不共线　，则向量c，a，b共面的充要条件是，存在　唯一　的一对实数x，y，使　c＝xa＋yb　 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c　不共面　，那么对空间中的任意一个向量p，存在一个　唯一　的有序实数组x，y，z，使　p＝xa＋yb＋zc　 5.空间向量的夹角及取值范围 空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b　互相垂直　，记作a⊥b. 6. 空间向量的数量积及性质 (1)空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b. (2)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示， 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (3)空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)； ⑤a·b＝b·a(交换律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 7．空间向量的运算与坐标的关系 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)　 数乘 ua＋vb 若u，v是两个实数，ua＋vb＝　(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)　 模 |a| |a|＝＝　　 数量积 a·b a·b＝　x1x2＋y1y2＋z1z2　 夹角公式 cos〈a，b〉 cos〈a，b〉＝＝ 平行 a∥b a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔ ， 当a∥b⇔　＝＝　.(x，y，z≠0) 垂直 a⊥b a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 1．中点坐标公式：设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为 . 2．点共线和点共面问题 (1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三个点共线，即证明与共线． (2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明＝x＋y，或对空间任一点O，有＝＋x＋y，或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　 ) (2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　 ) (3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　 ) (4)对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　 ) (5)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　 ) (6)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．有下列命题： ①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb； ③若＝x＋y，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则＝x＋y. 其中真命题的个数是(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 解析：B　[其中①③为正确命题．] 2．已知a＝(1，－1,1)，b＝(－2,4,6)，则2 024(a·b)的值为　________　. 解析：因为a＝(1，－1,1)，b＝(－2,4,6)， 所以2 024(a·b)＝2 024×(－2－4＋6)＝0. 答案：0 3．(教材改编)如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　 ) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析：A　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.] 4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为　________　. 解析：||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴||＝，∴EF的长为. 答案： 5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是　________　. 解析：由题意知＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)， 故cos θ＝＝＝－. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π. 答案：π 　空间向量的线性运算(基础点) 1．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝　________________　. 解析：如图所示， ＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2 )＝(＋－)＝(b＋c－a)． 答案：(b＋c－a) 2．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基底{，，}表示向量，有＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为　________　. 解析： 如图， ∵＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋＋， ∴x＝，y＝，z＝. 答案：，， 3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简－－＝　________　； (2)用，，表示，则＝　________　. 解析：(1)－－＝(＋)－－＝－＋(＋)－－＝－＝. (2)解法1：＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋. 解法2：＝－＝－＝＋＝＋(＋)＝＋＋. 答案：(1)　(2)＋＋ 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 　　　共线、共面向量定理及应用(应用点) [典例]　如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心． (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [解]　(1)证明：分别连接PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点． 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心． 所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有： ＝，＝，＝，＝. 因为四边形MNQR是平行四边形，所以 ＝＋＝(＋)． 又＝－＝， 所以＝(＋)， 即＝＋，由共面向量定理知E、F、G、H四点共面． (2)由(1)得＝，所以∥. 又因为EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD. 因为＝－＝－＝，所以MN∥EF，又因为EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 由于EG与EF交于E点， 所以平面EFGH∥平面ABCD. 空间共线向量定理、共面向量定理的应用 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) 如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点． (1)试用向量，，表示； (2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C. 解：(1)设＝a，＝b，＝c. 由图得＝＋＋ ＝c＋b＋ ＝a＋b＋c ＝＋＋. (2)证明　由题图，得＝＋＝a＋b， ＝＋＝b＋a＝， ∵EG与AC无公共点， ∴EG∥AC，∵EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C， ∴EG∥平面AB1C. 又∵＝＋＝a＋c， ＝＋＝c＋a＝， ∵FG与AB1无公共点， ∴FG∥AB1， ∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C， ∴FG∥平面AB1C， 又∵FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面AB1C. 　　　空间向量的数量积及应用(应用点) ◆[命题角度1]　求空间向量的数量积　 1．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝(　　) A．a2　　　B.a2　　　C.a2　　　D.a2 解析：C　[设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°. 又＝(a＋b)，＝c， 故·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.] 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ. (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. ◆[命题角度2]　利用数量积求长度　 2．(2024·绵阳质检)如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A.　　　 B.　　 C．1　　　 D. 解析：D　[∵＝＋＋， ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－， 故||＝.] 3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　) A.a B.a C.a D.a 解析：A　[以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)． ∵点M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝.∴M. ∴||＝ ＝a.] 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． ◆[命题角度3]　利用数量积求夹角　 4．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：C　[由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，所以〈a，c〉＝120°.] 5．(2024·中山模拟)已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为　________　. 解析：由于a与2b－a互相垂直，则a·(2b－a)＝0，即2a·b－a2＝0，所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，则4cos〈a，b〉－4＝0，则cos〈a，b〉＝，所以a与b的夹角为45°. 答案：45° 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角． ◆[命题角度4]　解决平行或垂直问题　 6．(2024·黄冈市模拟)已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　) A. B．－2 C．0 D.或－2 解析：B　[当m＝0时，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)， a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b， ∴＝＝，解得m＝－2.] 7．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为(　　) A．1 B. C. D. 解析：D　[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，由题意知，3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.] 利用向量平行或垂直的坐标表示，将平行或垂直问题转化为向量的坐标运算． 学科网（北京）股份有限公司 $$