第6章 第5节 空间中的垂直关系-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第5节　空间中的垂直关系 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 1.垂直关系的基本问题，达成直观想象、逻辑推理的素养． 2．直线与平面垂直的判定与性质及平面与平面垂直的判定与性质的理解与运用，增强直观想象、逻辑推理和数学抽象的素养． 3．线面角与二面角的求解， 提升逻辑推理和数学运算的素养 　　2025年高考证明垂直的题型预计有两类： 1．线面垂直的判定与证明． 2．利用线面垂直性质证明线面垂直或面面垂直．是高考重点考查内容，主要以解答题形式出现，属中低档题型． 3．证明垂直问题可以用常规法证明，也可以通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的　任意　直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的　两条相交直线　垂直，则这条直线与这个平面垂直 性质 定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线　平行　 2.直线与平面所成的角 (1)垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，　AB　是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称　AC　是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为　斜足　.如图所示． (2)直线与平面所成的角：如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．如图所示． (3)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于　90°　；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于　0°　.因此，直线与平面所成的角的范围是　_[0°，90°]　. 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个　半平面　所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的　棱　，这两个半平面称为二面角的　面　. (2)图形表示： (3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角　α－AB－β　.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作　C－AB－D　. (4)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角． 如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是　∠AOB　. (5)二面角的平面角的取值范围：　0°≤θ≤180°　.平面角是直角的二面角称为直二面角． (6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，　不大于90°　的角的大小．范围为0°＜θ≤90°. 4．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β. 画法： (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面经过另外一个平面的一条　垂线　，则这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们　交线　的直线垂直于另一个平面 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　) (4)当α⊥β时，直线l过α内一点且与交线垂直，则l⊥β.(　　) (5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(教材改编)下列命题中不正确的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 解析：A　[根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l∥平面β或l⊂β或直线l与平面β相交．] 2．(2024·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A．①②　　　　　　　 B．②④ C．①③ D．②③ 解析：B　[对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.] 3.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S­EFG中必有(　　) A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面 C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面 答案：A 4．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有　________　对． 答案：7 5．将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB＝　________　. 解析：如图，取AC的中点O，连接DO，BO，BD， 则DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB为二面角的平面角，从而∠DOB＝90°.设正方形边长为1，则DO＝BO＝，所以DB＝1，故△ADB为等边三角形，所以∠DAB＝60°. 答案：60° 　　　垂直关系的基本问题(基础点) 1．(2024·银川市模拟)α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是(　　) A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β B．如果m⊂α，α∥β，那么m∥β C．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l D．如果m⊥n，n⊥α，m∥β，那么α⊥β 解析：D　[由α，β是两个平面，m，n是两条直线，可知：在A中，如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；在B中，如果m⊂α，α∥β，那么由面面平行的性质定理得m∥β，故B正确；在C中，如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么由线面平行的性质定理得m∥l，故C正确；在D中，如果m⊥n，n⊥α，m∥β，那么α与β相交或平行，故D错误．] 2．(2024·衡阳模拟)设m、n是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β 解析：A　[对于A选项，设直线m、n的方向向量分别为u、v， 因为m⊥α，n⊥β，则平面α的一个法向量为u，平面β的一个法向量为v， 因为m⊥n，则u⊥v，故α⊥β，A对； 对于B选项，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m、n平行或异面，B错； 对于C选项，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m、n的位置关系不确定，C错； 对于D选项，若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α、β平行或相交，D错．] 3. (2024·洛阳统考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝1，BC＝PA＝2，记四棱锥P－ABCD的外接球为球O，平面PAD与平面PBC的交线为l，BC的中点为E，则(　　) A．l∥BC B．AB⊥PC C．平面PDE⊥平面PAD D．l被球O截得的弦长为1 解析：ABD　[对于A，因为AD∥BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l，故A正确．对于∠ABC，过A，D分别作BC的垂线，垂足分别为M，N，则BM＝CN＝，AM＝DN＝，∠ABC＝60°.连接AC，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC＝1＋4－2×1×2×＝3，所以AC2＋AB2＝4＝BC2，所以AC⊥AB.又PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PA⊥AB，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC，故B正确．对于C，取AD的中点为F，连接EF，则EF⊥AD.因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF.又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以EF⊥平面PAD，又EF⊄平面PDE，EF∩平面PDE＝E，所以平面PDE与平面PAD不垂直，故C错误．对于D，易知l与球O的一个交点为P，设l与球O的另一个交点为Q，则线段PQ即l被球O截得的弦．由A选项可知AD∥l，所以P，A，D，Q四点在球O的某一个截面圆的圆周上，且PQ∥AD.因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，所以∠PAD＝90°.又圆的内接四边形对角互补，所以∠PQD＝180°－∠PAD＝90°，所以四边形PADQ是矩形，所以PQ＝AD＝1，故D正确．] 解决垂直关系的基本问题要注意 (1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图在头脑中形成印象来判断． (2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了． (3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明． 　　　直线与平面垂直的判定与性质(重难点) [典例]　如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝. [解]　(1)证明：∵ABC­A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点， ∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF. 连接DF，A1B，∴DF∥A1B， 在△ABC中，AC＝BC＝1， ∠ACB＝90°，则AB＝，又AA1＝， 则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1 ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. ∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF. 1．证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③面面平行的性质a⊥α，α∥β ⇒a⊥β；④面面垂直的性质α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β ⇒l⊥α. 2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2.PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． 解：(1)证明：在△ABC中，AB＝BC＝2，AC＝4， ∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝. ∴△ABC为等腰直角三角形． 连接OB，(图略)则OB＝2， 在△PAC中PA＝PC＝4，O为AC中点， ∴PO⊥AC，PO＝2， 在△POB中OB2＋PO2＝PB2，∴PO⊥OB. 又∵OB∩AC＝O，OB、AC⊂平面ABC. ∴PO⊥平面ABC. (2)作CH⊥OM，(图略)垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知O C＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°， 所以OM＝，CH＝＝. 所以点C到平面POM的距离为. 　　　平面与平面垂直的判定与性质(创新点) [典例]　如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点． (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 核心素养 直观想象、逻辑推理——立体几何证明中体现的核心素养 　　以常见的空间几何体为载体，以空间点、线、面的位置关系为基础， 以相应的概念、定理、性质、法则为出发点，借助几何直观和空间想象，通过逻辑思维和逻辑推理，正确解决立体几何中的证明问题．具体见下表： 信息提取 信息解读 逻辑推理 矩形ABCD⊥半圆面CMD AD⊥CD 着眼点1：由面面垂直推出线面垂直，进而推出线线垂直：AD⊥平面MCN⇒AD⊥CM M是半圆弧CD上异于C，D的点 ∠CMD＝90° 着眼点2：由直角的概念推出线线垂直：∠CMD＝90°⇒CM⊥MD. 着眼点3：由线线垂直推出线面垂直，进而推出面面垂直：⇒CM⊥平面AMD⇒平面AMD⊥平面BMC 在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD 猜想点P为 AM的中点. 着眼点4: 转化为证明线线平行： 连接BD，AC交于点O，证明OP∥MC [证明]　(1)由已知，BC⊥平面DMC， ∴BC⊥MC， ∵AD∥BC，∴AD⊥MC. 又DC为半圆的直径，∴MC⊥MD，又AD∩MD＝D. ∴MC⊥平面AMD，∵MC⊂平面BMC. ∴平面AMD⊥平面BMC. (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：连接AC交BD于O， 因为ABCD为矩形，所以O为AC中点，连接OP， 因为P为AM中点，所以MC∥OP. 又∵MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD， 所以MC∥平面PBD. 1．掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明． 2．已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面． 　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1 ­ BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC， A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BCC1B1， 所以四棱锥A1 ­ BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC， 所以A1C⊥BC，A1C⊥AC， 又因为A1B＝AB，BC为公共边， 所以△ABC≌△A1BC，所以A1C＝AC. 设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x， 所以O为CC1中点，OC1＝AA1＝1， 又因为A1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AA， 即x2＋x2＝22，解得x＝， 所以A1O＝＝＝1， 所以四棱锥A1 ­ BB1C1C的高为1. 　线面角与二面角(应用点) [典例]　如图，在四面体ABCD 中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°. (1)求证：AD⊥BC； (2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值； (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． [解]　(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC. (2)取棱AC的中点N，连接MN，ND， 又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC，所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角． 在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝＝，因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝＝，在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝＝. 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为. (3)连接CM，因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM＝，又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角． 在Rt△CAD中，CD＝＝4， 在Rt△CMD中，sin∠CDM＝＝. 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为. 1．斜线与平面所成的角，首先作出面的垂线，才得出斜线在面内的射影，才可得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解． 2．作二面角的平面角的常用方法有：① 直接法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点；② 垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角； ③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法． 如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长为，点D是AC的中点. (1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求平面A1BD与平面ABD所成的角； (3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值. 解：(1)证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1的中点，因为D为AC的中点，所以PD∥B1C. 又因为PD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD. (2)由题知，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，又因为BD⊥AC，则BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥A1D，所以∠A1DA 就是平面A1BD与平面ABD所成的角．因为AA1＝，AD＝AC＝1， 则tan∠A1DA＝＝，所以∠A1DA＝， 即二面角A1－BD－A的大小是. (3)作AM⊥A1D于M.由(2)，易知BD⊥平面ACC1A1. 因为AM⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AM.因为A1D∩BD＝D，所以AM⊥平面A1BD. 连接MP，易知∠APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角． 因为AA1＝，AD＝1，所以在Rt△AA1D中，∠A1DA＝，所以AM＝1×sin 60°＝，AP＝AB1＝， 所以sin∠APM＝＝＝，所以直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$