第6章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1.平面的基本性质及应用，增强逻辑推理和数学抽象的素养． 2．空间两直线的位置关系，达成直观想象和逻辑推理的素养． 3．异面直线所成的角，提升直观想象、数学抽象和数学运算的素养 　　2025年高考预计以几何体为载体，考查与点、线、面的位置关系等有关命题真假的判断、求异面直线所成的角是高考考查的重点．判断空间线面的位置关系可以用相关定理进行判断．也可以构造长方体模型来判断，还可以直接举反例来判断．题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型 一、构成空间几何体的基本元素 1．空间几何体的基本元素 长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也简称为“体”)，包围着几何体的都是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象．　点、线、面　是构成空间几何体的基本元素． 2．空间中的两条直线a，b的位置关系 3．直线a与平面α的位置关系 4．平面α与平面β的位置关系 5．直线与平面垂直： (1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面，记作l⊥α)，其中点A称为垂足． (2)点面距：若点A是平面α外一点，AB⊥α，B为垂足，则线段AB的长为点A到平面α的距离． (3)线面距、面面距转化为点面距． 二．平面的基本事实与推论 1．三个基本事实 图形 文字语言 符号语言 基本 事实1 过　不在一条直线上　的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的　两个点　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条　过该点的公共直线　 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.三个推论 (1)经过一条直线和　直线外的一点有且只有　一个平面． (2)经过两条　相交　直线　有且只有　一个平面． (3)经过两条　平行　直线　有且只有　一个平面． 三、平行直线与异面直线 1．平行直线 (1)定义：在同一平面内　不相交　的两条直线称为平行直线． (2)空间平行线的传递性 ①文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相　平行　. ②符号表述：⇒b∥c. 2．异面直线 (1)定义：两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在　任何一个平面内　. (2)异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个　平面　衬托，如图所示． (3)判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内　不经过交点　的直线异面． 3．异面直线所成的角 (1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b　平行或重合　的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． (2)异面直线所成角θ的取值范围：　0°<θ≤90°　. 四、等角定理 文字表述：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应　平行　，并且方向　相同　，那么这两个角　相等　. 五、空间四边形 1．定义：　顺次　连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的　顶点　，连接　相邻　顶点间的线段称为空间四边形的边，连接　不相邻　顶点间的线段称为空间四边形的对角线． 2．表示：用表示　顶点　的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为　AB，BC，CD，DA　，对角线为　AC，BD　. 1．异面直线的判定 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) (3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (5)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× ◆[小题查验] 1．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α 解析：C　[A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误；B中，m与n也有可能平行，B错误；C中，根据线面平行的性质可知C正确；D中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误．] 2．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　 ) A．空间四边形　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：B　[顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连接四边中点的四边形一定是矩形．] 3．如图正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点则这四个点不共面的一个图是(　　) 解析：D　[A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．] 4．(教材改编)已知直线a，b，c，有下面四个命题： ①若a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的序号是　__________　. 解析：①a，c可能相交、平行或异面；②a，c可能相交、平行或异面；③正确；④a，c可能相交、平行或异面． 答案：③ 5．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AA1＝3 cm，则 (1)点A到平面DCC1D1的距离为　________　； (2)直线AA1到平面BCC1B1的距离为　________　； (3)平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为　________　. 解析：(1)因为AD⊥平面DCC1D1，所以点A到平面DCC1D1的距离为AD＝4 cm. (2)因为AA1∥平面BCC1B1，所以直线AA1到平面BCC1B1的距离为点A到到平面BCC1B1的距离AB＝6 cm. (3)因为面ABCD∥面A1B1C1D1，所以平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为点A到平面A1B1C1D1的距离A1A＝3 cm. 答案：(1)4 cm　(2)6 cm　(3)3 cm 　　　平面的基本性质及应用(应用点) ◆[命题角度1]　证明点、线共面　 1．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，因为G、H分别为FA、FD的中点，所以GH∥AD且GH＝AD， 又BC∥AD且BC＝AD， 故GH∥BC且GH＝BC， 所以四边形BCHG是平行四边形． (2)C，D，F，E四点共面．理由如下： 由BE∥AF且BE＝AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH， 故EC，FH共面．又点D在直线FH上， 所以C，D，F，E四点共面． 点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余点或直线也在这个平面内． (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． (3)反证法． 提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明． 1．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线　 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：A　[连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1. 因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．] ◆[命题角度2]　证明三线共点　 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点， 求证：(1)E，C，D1，F四点共面． (2)CE，D1F，DA交于一点． 证明：(1)如图， 连接CD1，EF，A1B， 因为E，F分别是AB和AA1的中点，所以EF∥A1B且EF＝A1B. 又因为A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1， 所以EF∥CD1， 即EF与CD1确定一个平面α. 且E，F，C，D1∈α， 即E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)可知，EF∥CD1，且EF＝CD1， 所以四边形CD1FE是梯形． 所以CE与D1F必相交．设交点为P，如图， 则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1. 又因为平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， 所以P∈AD，所以CE，D1F，DA交于一点． 证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线． 2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E，F，G的平面交AD于点H. (1)求AH∶HD； (2)求证：EH，FG，BD三线共点． 解：(1)∵＝＝2，∴EF∥AC， ∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH， 平面EFGH∩平面ACD＝GH， ∴EF∥GH，∴AC∥GH. ∴＝＝3，∴AH∶HD＝3∶1. (2)证明：∵EF∥GH，且＝，＝， ∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形． 令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD， 又P∈FG，FG⊂平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴P∈BD，∴EH，FG，BD三线共点． ◆[命题角度3]　证明三点共线　 3．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF∥BD.在△BCD中，＝＝， ∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E，F，G，H四点共面． (2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC， ∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． 又平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴P∈AC，∴P，A，C三点共线． 证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线． 3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线． 证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β. 又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点， 因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， 所以E，F，G，H四点必定共线． 　　　空间两直线的位置关系(基础点) 1．下列命题中正确的个数是(　　) ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线； ④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直． A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解：B　[当l与α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，故①不对； 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故②不对； 当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．] 2．(2023·上海春招)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为边A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是(　　) A．DD1　 B．AC　 C．AD1　 D．B1C 解析：B　[对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．] 3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠，有以下四个结论： ①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线． 其中正确结论的序号是　________　.(注：把你认为正确命题的序号都填上) 解析：过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，(图略)可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于点R、S，(图略)则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M、N分别是AB1、BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③. 答案：①③ 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 提醒：(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交； (2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线． 　异面直线所成的角(迁移点) [母题]　如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. [解析]　D　[连接BC1，易证 BC1∥AD1， 则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝.] [子题1]　将母题条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”， 则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　________　. 解析：由平面ABCD内仅有一点到A1的距离为1，则AA1＝1.此时正四棱柱变为正方体ABCD－A1B1C1D1，由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1. 则△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°， ∴cos∠A1BC1＝，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 答案： [子题2]　将母题条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，则的值为　________　. 解析：设＝t，则AA1＝tAB. ∵AB＝1，∴AA1＝t，由题意知∠A1BC1为所求， 又A1C1＝，A1B＝＝BC1， ∴cos ∠A1BC1＝＝， ∴t＝3，即＝3. 答案：3 [子题3]　在母题条件下，若点P在平面A1B1C1D1内且不在对角线B1D1上，过点P在平面A1B1C1D1内作一直线m，使m与直线BD成α角，且α∈.这样的直线可作　________　条． 解析：在平面A1B1C1D1内作m，使m与B1D1相交成α角．∵BD∥B1D1，∴直线m与BD也成α角，即m为所求．且m与BD是异面直线，当α＝时，m只有1条，当α≠时，这样的直线有2条． 答案：2 异面直线所成角的求解技巧 求异面直线所成的角采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．其求解一般步骤为： (1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； (2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角； (3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； (4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 1．(2024·沧州模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD＝，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：C　[如图，连接AD，BC，AC，SC. 因为O为AB，CD中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形， 所以DB∥AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角． 设圆O的半径为1，则SA＝SC＝. 因为∠AOD＝，所以∠ADO＝. 在直角△DAC中，CD＝2，得AC＝. 所以cos∠SAC＝＝， 所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为.] 2．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为　________　. 解析：如图，在三棱锥A－BCD中， 取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝AB.PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)． 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. ①若∠MPN＝60°， 因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．又因为AB＝CD，所以PM＝PN， 则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°， 即AB与MN所成的角为60°. ②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°， 即AB与MN所成的角为30°. 综上直线AB和MN所成的角为60°或30°. 答案：60°或30° 学科网（北京）股份有限公司 $$