第6章 第2节 空间几何体的表面积与体积-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第2节　空间几何体的表面积与体积 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 1.空间几何体的表面积与侧面积、体积公式的学习与运用，达成直观想象、数学抽象和数学运算的素养． 2．球与空间几何体的接、切问题，提升直观想象和数学运算的素养 　　本部分是高考的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积计算等内容，命题形式以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的表面积、体积的计算等问题，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想 1．常见几何体的侧面展开图 名称 侧面展开图 侧面展开图 棱柱 矩形 圆柱 矩形 棱锥 　共顶点的三角形　 圆锥 扇形 棱台 　若干个小梯形　 圆台 　扇环　 2.常见旋转体的表(侧)面积 名称 图形 表面积 侧面积 圆柱 　S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)　 S侧＝　2πrl　 圆锥 　S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)　 S侧＝　πrl　 圆台 S＝　π(r′2＋r2＋r′l＋rl)　 S侧＝　π(r＋r′)l　 球 S＝　4πr2　 3.祖暅原理 (1)祖暅原理：幂势既同，则积不容异． (2)含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．如图所示． 4．常见空间几何体的体积公式 (1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh. (2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝Sh. (3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则体积V＝(S′＋＋S)h. (4)设球半径为R，则球的体积V＝πR3. 1．长方体的外接球 球心：体对角线的交点；半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)． 2．正方体与球 (1)正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝(r为内切球半径)． (2)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝a. 3．正四面体与球 如图，设正四面体的棱长为a， 内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝a，CE＝a，则有R＋r＝a，R2－r2＝|CE|2＝，解得R＝a，r＝a. 4．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球 (1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1－AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝a. (2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝＝(l为长方体的体对角线长)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(　　) (3)若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π.(　　) (4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(　　) (5)将圆心角为，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(　　) (6)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为a3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)× ◆[小题查验] 1．(教材改编)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A．7　　 B．6　　 C．5　　 D．3 解析：A　[设圆台较小底面半径为r， 则另一底面半径为3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.] 2．(2022·全国乙卷，9)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[同一圆面上，内接四边形为正方形时面积最大， 假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则r＝a，所以该四棱锥的高h＝ ，所以体积V＝a2＝ ≤ ＝ ＝， 当且仅当＝1－，即a2＝时，等号成立，所以该四棱锥的高h＝＝＝.] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为　________　. 解析：由题意易求正四棱锥的高为6，V棱台＝V大四棱锥－V小四棱锥＝×4×4×6－×2×2×3 ＝28. 答案：28 4．(教材改编)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝　________　cm2. 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40) ＝2 600π(cm2)． 答案：2 600π 5．一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V＝　________　cm3. 解析：由表面展开图可知，该几何体下面是一个边长为1的正方体，其体积为1；上面是一个棱长为1的正四棱锥，其体积为×1×1× ＝，该几何体的体积为 cm3. 答案：1＋ 　　　空间几何体的表面积与侧面积(基础点) 1．(2024·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　) A．4＋4　　　　　 B．4＋4 C．12 D．8＋4 解析：A　[连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.] 2．圆台的母线长扩大到原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的，那么它的侧面积为原来的　________　倍． 解析：设改变之前圆台的母线长为l，上底半径为r，下底半径为R，则侧面积为π(r＋R)l，改变后圆台的母线长为nl，上底半径为，下底半径为，则侧面积为πnl＝π(r＋R)l，故它的侧面积为原来的1倍． 答案：1 3.如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1＝2.若用平行于三棱柱A1B1C1­ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为　________　. 解析：由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为2，底面是边长为2的正方形；二是长方体的高为2，底面是长为4，宽为1的矩形．所以其表面积分别为24,28，故长方体表面积的最小值为24. 答案：24 几何体表面积的求法 (1)求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 提醒：组合体的表面积应注意重合部分的处理． 　空间几何体的体积 ◆[命题角度1]　直接利用公式求体积(基础点)　 1．(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　________　. 解析：如图， 将正四棱台ABCD­A1B1C1D1补成正四棱锥，则AO＝， SA＝2，OO1＝， 故V＝(S1＋S2＋)h， V＝(22＋12＋)×＝. 答案： ◆[命题角度2]　割补法求体积(应用点)　 2.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　________　g. 解析：此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4××2×3 cm2＝12 cm2，其高为点O到底面BB1C1C的距离为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝×12×3 cm3＝12 cm3.又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6 cm3＝144 cm3，所以该模型体积为V＝V2－V1＝(144－12) cm3＝132 cm3，其质量为0.9×132 g＝118.8 g. 答案：118.8 3．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为　________　. 解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG， CH，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，则△BHC中BC边的高h＝.∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝. 答案： ◆[命题角度3]　等体积法求体积 (基础点)　 4．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　 ) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：A　[易知三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，又三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.] 求空间几何体的体积的常用方法 公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解 割补法 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积 等体积法 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积 提醒：求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决． 1．(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　) A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为 解析：AB　[取△ABC的中心为O，连接PO. 由题意得PO⊥面ABC，又△ABC为等边三角形，则AO＝＝， 所以正三棱锥高为PO＝＝＝3， S△ABC＝×3×3sin 60°＝， 所以正三棱锥的体积为VP－ABC＝S△ABCPO＝. 作PD⊥AB交AB于D，又PA＝PB＝2，AD＝AB＝， 则正三棱锥的斜高为PD＝＝， 所以正三棱锥侧面积为：S＝3S△PAB＝×PD×AB＝3×××3＝.] 2．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　________　. 解析：在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8，解得SA＝4. 设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30°， 所以r＝2，h＝2， 所以圆锥的体积为πr2·h＝π×(2)2×2＝8π. 答案：8π 　 　　球与空间几何体的接、切问题(综合性、应用性) ◆[命题角度1]　球的内切问题　 1．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　________　. 解析：分析知圆锥内半径最大的球应为该圆锥的内切球，如图， 由题可知该圆锥的母线长为BS＝3，底面半径为BC＝1， 高为SC＝＝2， 不妨设该内切圆与母线BS切于D点， 令OD＝OC＝r， 则由△SOD∽△SBC，可得＝， 即＝，得r＝， 此时V＝πr3＝π. 答案：π 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． 1．(2024·晋中市模拟)四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　) A．6　　 B．5　　　 C.　　　 D. 解析：D　[由题意，四棱锥P－ABCD是正四棱锥， 球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面，如图所示，其中PE，PF是斜高，A′为球面与侧面的切点．设PH＝h，由几何体可知，Rt△PA′O∽Rt△PHF， ∴＝，即＝，解得h＝.] ◆[命题角度2]　球的相接问题　 2．已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8，若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为(　　) A．10π B．25π C．50π D．100π 解析：D　[由题意，平面ABC截球O所得截面的面积为9π，可得AC＝2r＝2＝6，PC为球O的直径，PC＝＝10，∴球O的半径为5，∴球O的表面积为4π·52＝100π.] 3．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是　________　. 解析：设球的半径为R.当球O是正方体的外接球时， 恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC1＝＝4， 即2R′＝4，R′＝2，故Rmax＝2； 分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH与体对角线的交点， 连接MG，则MG＝4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最小，即R的最小值为2.综上可知，球O的半径R的取值范围是[2，2]． 答案：[2，2] 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 2．(2024·洛阳统考一)已知正方形ABCD的边长为2，AB中点为E，现将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上翻折，使A，B重合于O点，则三棱锥O－DEC等外接球的表面积S＝　________　. 解析：依题意EO⊥OC，EO⊥OD，OD∩OC＝O， OD，OC⊂平面DOC，所以OE⊥平面DOC，又OC＝OD＝CD＝2、OE＝AB＝1，所以△OCD的外接圆的半径r＝＝，设三棱锥O－DEC的外接球的半径为R，则(2R)2＝OE2＋(2r)2，所以4R2＝12＋2＝，所以三棱锥O－DEC等外接球的表面积S＝4πR2＝π. 答案：π 学科网（北京）股份有限公司 $$