第6章 第1节 空间几何体的结构特征、直观图-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第1节　空间几何体的结构特征、直观图 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图 1.空间几何体的结构特征，达成直观想象和数学运算的素养． 2．空间几何体的直观图，提升直观想象和数学运算的素养 　　本部分是高考中的重点考查内容，题型以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的结构特征，解题要求有较强的空间想象力，难度不会太大，属中低档题型，考查考生转化与化归、数形结合等数学思想的运用 1．多面体的结构特征 图形 结构特征 棱柱 有两个面相互平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形 棱锥 一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共项点的三角形 棱台 上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点 2.特殊的棱柱和棱锥： 直棱柱：侧棱　垂直　于底面的棱柱； 斜棱柱：侧棱　不垂直　于底面的棱柱； 正棱柱：底面是　正多边形　的　直　棱柱； 平行六面体：底面是　平行四边形　的四棱柱． 正棱锥：底面是　正多边形　，并且顶点与底面中心的连线　垂直　于底面的棱锥． 正棱台：由正棱锥截得的棱台． 3．旋转体的结构特征 图形 结构特征 圆柱 两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形 圆锥 底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形 圆台 上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形 球 过球心的截面是大小相等的圆面 4.空间几何体的斜二测画法 空间几何体的直观图常用　斜二测　画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为　45°(或135°)　，z′轴与x′轴、y′轴所在平面　垂直　. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别　平行于　坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　不变　，平行于y轴的线段长度在直观图中变为　原来的一半　. 1．特殊的四棱柱 上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}． 2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系： S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图． 3．球心到截面的距离d＝(其中R为球的半径，r为截面半径)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)球的任何截面都是圆．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．(　　) (4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．(　　) (5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A ＝ 90°，则在直观图中∠A＝45°.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 解析：B　[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．] 2．(教材改编)下列说法正确的是(　　) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案：D 3．(教材改编)如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是(　　) A．①是棱台　　　　　 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 解析：C　[图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．] 4．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是　________　.(写出所有正确的序号) ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形． 解析：①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误． 答案：①②④ 5．如图所示的几何体中，是棱柱的为　________　(填写所有正确的序号)． 解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱． 答案：③⑤ 空间几何体的结构特征(基础点) 1．下列说法正确的是(　　 ) A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 解析：B　[A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．] 2．下列结论正确的是(　　 ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：D　[A错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥； C错误，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长；D正确．] 3．(多选)给出下列命题，其中真命题是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 解析：BCD　[A不正确，根据棱柱的定义， 棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．] 1．解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断． 2．解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析． 空间几何体的表面展开与折叠 [命题角度1]　空间几何体表面的折叠　(基础点)　 [典例1]　纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是(　　) A．南　　 B．北　　 C．西　　 D．下 解析：B　[将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面．] 解答空间几何体表面的折叠问题，要结合空间几何体的定义和结构特征，发挥空间想象能力．必要时可制作平面展开图进行实践． 1．在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(　　) 解析：C　[动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可．] ◆[命题角度2]　空间几何体表面的展开　(综合点)　 [典例2]　圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为(　　) A．10 cm B. cm C．5 cm D．5 cm [解析]　B　[如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长． ∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π. ∴A′C＝＝＝5＝ .] 空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把几何体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解． 2．(2024·洛阳市模拟)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为　________　 cm. 解析：将正三棱柱ABC－A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示， 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2＝12，宽等于5，由勾股定理d＝＝13. 答案：13 空间几何体的直观图(应用点) [典例]　已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　) A.a2　　B.a2　　C.a2　　D.a2 [解析]　D　[如图所示为原图形和其直观图． 由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 在图中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a. ∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.] [互动探究] 若本例中，将“△ABC的边长为a”改为“△A′B′C′的边长为a”，则△ABC的面积为　________　. 解析：建立如图所示的坐标系xOy′， △A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC为△ABC的高．把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变． 已知A′B′＝A′C′＝a， 在△OA′C′中， 由正弦定理得＝， 所以OC′＝a＝a， 所以原三角形ABC的高OC＝a， 所以S△ABC＝×a×a＝a2. 答案：a2 直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线． 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为(　　) A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2 解析：C　[解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2. 解法二：依题意可知，S直观图＝2 cm2，故S原图形＝2S直观图＝8 cm2.] 学科网（北京）股份有限公司 $$