第4章 第4讲 复数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

第4节 复数 第四章 平面向量、复数 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.复数的概念 (1)通过方程的解，认识复数． (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 2．复数的运算 掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义 1.复数的有关概念，达成数学抽象和数学运算素养． 2．复数的几何意义，提升直观想象和数学运算素养． 3．复数的四则运算，增强数学运算素养 　　复数的有关概念及代数形式的运算是高考命题的热点之一，重点考查对复数概念的辨析、理解能力和复数四则运算的计算、求解能力，题型一般为选择题，难度较小，属于低档题 1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，复数用z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为　a　，虚部为　b　 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔　a＝c且b＝d　(a，b，c，d∈R) 共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，　x轴　叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设eq \o(OZ,\s\up16(→))对应的复数为eq \o(z,\s\up6(－))＝a＋bi，则向量eq \o(OZ,\s\up16(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝　eq \r(a2＋b2)　 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点　Z(a，b)　(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)OZ,\s\up16(→)) INCLUDEPICTURE "../../../Application%20Data/Microsoft/Word/0+.tif" \* MERGEFORMAT 平面向量. 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq \o(OZ,\s\up16(→))＝eq \o(OZ1,\s\up16(→))＋eq \o(OZ2,\s\up16(→))，eq \o(Z1Z2,\s\up16(→))＝eq \o(OZ2,\s\up16(→))－eq \o(OZ1,\s\up16(→)). 4．实系数一元二次方程在复数范围内的解集． 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根； (4)如果x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的解，那么eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1·x2＝\f(c,a).)) 1．(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)任何数的平方都不小于0.(　　 ) (2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　 ) (3)两个虚数的和还是虚数．(　　 ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．(　　 ) (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× ◆[小题查验] 1．(2022·新高考Ⅰ卷，2)若i(1－z)＝1，则z＋eq \x\to(z)＝(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 解析：D　[对原式两边同时乘以i得：z－1＝i，即z＝1＋i，所以eq \o(z,\s\up6(－))＝1－i，即z＋eq \o(z,\s\up6(－))＝2.] 2．(教材改编)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件. ] 3．(多选)已知复数z＝－1＋eq \r(3)i(i为虚数单位)，eq \o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，若复数w＝eq \f(\o(z,\s\up6(－)),z)，则下列结论正确的是(　　) A．w在复平面内对应的点位于第二象限 B．|w|＝1 C．w的实部为－eq \f(1,2) D．w的虚部为eq \f(\r(3),2)i 解析：ABC　[w＝eq \f(\o(z,\s\up6(－)),z)＝eq \f(－1－\r(3)i,－1＋\r(3)i)＝eq \f(－1－\r(3)i－1－\r(3)i,－1＋\r(3)i－1－\r(3)i)＝eq \f(－2＋2\r(3)i,4)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，w在复平面内对应的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，位于第二象限，|w|＝eq \r(\f(1,4)＋\f(3,4))＝1，w的实部为－eq \f(1,2)，虚部为eq \f(\r(3),2).] 答案：－3－4i 4．在复平面内，向量eq \o(AB,\s\up16(→))对应的复数是2＋i，向量eq \o(CB,\s\up16(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq \o(CA,\s\up16(→))对应的复数是　________　. 解析：eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i. 5．(2023·全国甲卷)eq \f(51＋i3,2＋i2－i)＝(　　) A．－1　　 B．1　　 C．1－i　　 D．1＋i 解析：C　[eq \f(51＋i3,2＋i2－i)＝eq \f(51－i,5)＝1－i.] 　复数的有关概念(基础点) 1．(2022·北京卷，2)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　) A．1　　 B．5　　 C．7　　 D．25 解析：B　[由条件可知z＝eq \f(3－4i,i)＝－4－3i，所以|z|＝5.] 2．(多选)下面是关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个命题，其中的真命题为(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 解析：BD　[∵z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i) ＝－1－i，∴A：|z|＝eq \r(2)；B：z2＝2i；C：z的共轭复数为－1＋i；D：z的虚部为－1.] 3．(2024·怀化二模)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则(　　) A．z2＝2i B.eq \f(z＋i,i)是纯虚数 C．|z|＝2 D．i(z＋i)是实数 解析：B　[由题意，z＝1－i，则z2＝(1－i)2＝－2i；eq \f(z＋i,i)＝eq \f(1－i＋i,i)＝eq \f(1,i)＝eq \f(－i,－i2)＝－i，是纯虚数；|z|＝eq \r(2)；i(z＋i)＝i(1－i＋i)＝i，是纯虚数．] 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解． 复数的几何意义(基础点) 1．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限　　　　 D．第四象限 解析：A　[由题知(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限．] 2．(2024·漳州模拟)已知复平面内点M，N分别对应复数z1＝2＋i和z2＝1－i，则向量eq \o(MN,\s\up6(→))的模为(　　) A．1 B.eq \r(3) C.eq \r(5) D．3 解析：C　[因为复平面内点M，N分别对应复数z1＝2＋i和z2＝1－i， 所以M(2,1)，N(1，－1)，所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝(－1，－2)； 所以向量eq \o(MN,\s\up16(→))的模为eq \r(－12＋－22)＝eq \r(5).] 3．(多选)设z＝(－t2＋4t－5)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是(　　) A．z对应的点在第二象限 B．z一定不为纯虚数 C.eq \o(z,\s\up6(－))对应的点在实轴的下方 D．z可以为实数 解析：ABC　[∵－t2＋4t－5＝－(t－2)2－1＜0, t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，∴z对应的点在第二象限．故A正确；∵－t2＋4t－5＝0无解，∴z一定不为纯虚数，故B正确；∵z与eq \o(z,\s\up6(－))对应的点关于实轴对称，∴eq \o(z,\s\up6(－))对应的点在第三象限，满足在实轴的下方，故C正确；∵t2＋2t＋2＝0无解，∴z一定不是实数，故D错误．] 4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若eq \o(OC,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是　________　. 解析：由条件得eq \o(OC,\s\up16(→))＝(3，－4)，eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－1,2)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(1，－1)，根据eq \o(OC,\s\up16(→))＝λeq \o(OA,\s\up16(→))＋μeq \o(OB,\s\up16(→))得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1. 答案：1 对复数几何意义的理解及应用 (1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \o(OZ,\s\up16(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \o(OZ,\s\up16(→)). (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 　复数的代数运算(基础点) 1．(2022·新高考Ⅱ卷，2)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析：D　[(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i.] 2．(2023·全国乙卷)设z＝eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)，则eq \x\to(z)＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析：B　[由题意可得z＝eq \f(2＋i,1＋i2＋i5)＝eq \f(2＋i,1－1＋i)＝eq \f(i2＋i,i2)＝eq \f(2i－1,－1)＝1－2i，则eq \x\to(z)＝1＋2i.] 3．(2022·全国乙卷，2)已知z＝1－2i，且z＋a·eq \o(z,\s\up16(－))＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 解析：A　[由题设，z＝1－2i，eq \o(z,\s\up16(－))＝1＋2i，代入有a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，故a＝1，b＝－2，选择A.] 4．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝eq \f(1－i,2＋2i)，则z－eq \x\to(z)＝(　　) A．－i　　 B．i　　 C．0　　 D．1 解析：A　[因为z＝eq \f(1－i,2＋2i)＝－eq \f(1,2)i，所以eq \x\to(z)＝eq \f(1,2)i，所以z－eq \x\to(z)＝－i.] 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式． 提醒　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. 实系数一元二次方程在复数范围内的解集 1．若1＋eq \r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　) A．b＝2，c＝3　　　　　 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1 解析：B　[实系数方程虚根成对，所以1－eq \r(2)i也是一根，所以b＝－2，c＝1＋2＝3.] 2．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为　________　. 解析：设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(xeq \o\al(2,0)＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋kx0＋2＝0，,2x0＋k＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2)，,k＝－2\r(2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2)，,k＝2\r(2)，)) 所以k的值为－2eq \r(2)或2eq \r(2). 答案：±2eq \r(2) 解决实系数一元二次方程问题的注意点 (1)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，根与系数的关系和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． (2)解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件． $$