第4章 第3讲 向量的数量积-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

第3节 向量的数量积 第四章 平面向量、复数 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第四章 平面向量、复数 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影向量的概念以及平面向量的数量积的几何意义． 3．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 4．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件． 5．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用 1.平面向量数量积的运算，达成数学抽象和数学运算素养． 2．利用数量积求向量夹角和模，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．平面向量的垂直及应用，增强逻辑推理和数学运算素养 　　高考中有关平面向量的数量积运算包含三类问题：①利用坐标计算平面向量的数量积；②根据平面向量的数量积的定义计算几何图形中相关向量的数量积；③根据数量积求参数值．数量积的运算、投影、模与夹角是高考的热点，有时与三角函数、平面几何、解析几何等结合考查，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题，难度中等 1．两个向量的夹角 定义 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a, b〉 特例 〈a, b〉＝0 a与b同向 〈a, b〉＝π a与b反向 〈a, b〉＝eq \f(π,2) a与b垂直，记作　a⊥b　. 规定　零向量　与任意向量垂直 2.向量数量积的定义 (1)一般地，当a与b都是非零向量时，称　|a||b|cos〈a，b〉　为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉　. (2)向量数量积的性质 ①|a·b|≤　|a||b|　； ②a·a＝ |a|2 ，即|a|＝eq \r(a·a).一般地，a·a可以简写为a2，因此性质②可以改写为a2＝|a|2. ③a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即a⊥b⇔　a·b＝0　. ④当a与b至少有一个是零向量时，称它们的数量积为0，即a·b＝0. 3．投影向量 如图，已知a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(CD,\s\up16(→))＝b，过起点A和终点B分别作eq \o(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．一般地若向量a，b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos θeq \f(b,|b|).或eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|). 4．平面向量数量积的性质及其坐标运算 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹角． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝　x1x2＋y1y2　 模 |a|＝　eq \r(a·a)　 |a|＝　eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))　 夹角 cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|) cos θ＝　eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))　 a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝　0　 |a·b|与 |a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b 时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq \r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)) 5.平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ，则 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)结合律：(λa)·b＝＝a·(λb)； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　) (2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (5)两个向量的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．(教材改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 解析：C　[由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，有4a·b＝4，故a·b＝1，选择C.] 2．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，向量b的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量等于(　　) A．2e B．e C．－e D．－2e 解析：C　[|a|cos 120°e＝2cos 120°e＝－e.] 3．(2022·新高考Ⅱ卷，4)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析：C　[由已知有c＝(3＋t,4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，故eq \f(9＋3t＋16,|c|·5)＝eq \f(3＋t,|c|·1)，解得t＝5.] 4．（教材改编）已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，则|2a＋b|＝　________　. 解析：|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4|a|2＋4|a||b|cos 60°＋|b|2 ＝4×25＋4×5×5×eq \f(1,2)＋25＝175. ∴|2a＋b|＝5eq \r(7). 答案：5eq \r(7) 5．已知向量a、b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为　________　. 解析：由(a＋2b)·(a－b)＝－6，得a2－2b2＋a·b＝－6. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6， ∴cos〈a，b〉＝eq \f(1,2).∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝eq \f(π,3). 答案：eq \f(π,3) 　平面向量的数量积运算(基础点) 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　 ) A．4　　 B．3　　 C．2　　 D．0 解析：B　[因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.] 2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影向量为(　　 ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4\r(5),5)，\f(7\r(5),5)))　　　 B．－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),25)，\f(7\r(5),25))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(7,5))) D．(－4,7) 解析：C　[∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝eq \r(13)，|b|＝eq \r(65)，∴a在b上的投影向量为eq \f(ab,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(13,65)(－4,7)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(7,5))).] 3．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \r(5)　　 B．3　　 C．2eq \r(5)　　 D．5 解析：B　[以{eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))}为基底向量，可知|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝ |eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＝0， 则eq \o(EC,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(ED,\s\up16(→))＝eq \o(EA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以eq \o(EC,\s\up16(→))·eq \o(ED,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→)))) ＝－eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))2＋eq \o(AD,\s\up16(→))2＝－1＋4＝3.] 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 易错警示：(1)在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c. (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)． 利用数量积求向量夹角和模(重难点) ◆[命题角度1]　平面向量的模　 1．(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝　________　. 解析：由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＝2a·b； 由|a－b|＝eq \r(3)，得a2－2a·b＋b2＝3，即b2＝3， |b|＝eq \r(3). [答案]　eq \r(3) (2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为　________　. 解析：建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a＝(1,0)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b＝(0,1)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c＝(x，y)， ∴c－a－b＝(x－1，y－1)．∵|c－a－b|＝1， ∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆． 而|c|＝eq \r(x2＋y2)，∴|c|的最大值为|OM|＋1， 即|c|max＝eq \r(2)＋1. 答案：eq \r(2)＋1 利用数量积求向量夹角和模 (1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． ◆[命题角度2]　平面向量的夹角　 2．(1)(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(2,5) C.eq \f(2,5) D．eq \f(4,5) 解析：D　[由a＋b＋c＝0得a＋b＝－c， 所以(a＋b)2＝(－c)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， 又|a|＝|b|＝1，|c|＝eq \r(2)， 所以a·b＝0，所以a⊥b. 如图所示：a－c＝eq \o(CA,\s\up16(→))，b－c＝eq \o(CB,\s\up16(→))，由余弦定理得|CA|＝|CB|＝eq \r(5)，所以cos∠ACB＝eq \f(5＋5－2,2\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5)， 即cos〈a－c，b－c〉＝eq \f(4,5).] (2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是　________　. 解析：∵2a－3b与c的夹角为钝角， ∴(2a－3b)·c<0， 即(2k－3，－6)·(2,1)<0，解得k＜3. 又若(2a－3b)∥c， 则2k－3＝－12，即k＝－eq \f(9,2). 当k＝－eq \f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 此时2a－3b与c反向，不合题意． 综上，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3)) 根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度问题． 提醒：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 平面向量的垂直及应用(基础点) 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析：D　[(a＋λb)·(a＋μb)＝a2＋(λ＋μ)(a·b)＋λμb2＝2(1＋λμ)＝0，所以λμ＝－1.] 2．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝　________　. 解析：单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝k－eq \f(\r(2),2)＝0，k＝eq \f(\r(2),2). 答案：eq \f(\r(2),2) 3．设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，则m＝　________　. 解析：由a⊥b，可得a·b＝1×(m＋1)＋(－1)×(2m－4)＝0，解得m＝5. 答案：5 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 数量积运算的最值或取值范围(重难点) [典例]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \o(PA,\s\up16(→))·(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))的最小值是(　　) A．－2　　 B．－eq \f(3,2)　　 C．－eq \f(4,3)　　 D．－1 核心素养 直观想象、数学运算——数量积的最值或取值范围中的核心素养 信息提取 信息解读 直观想象、数学运算 △ABC是边长为2的等边三角形 等边三角形隐含着很多条件，可以考虑几何法 方法1：几何法 着眼点：等边三角形△ABC是一个几何图形，可考虑几何法，运算步骤： ①eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))利用向量的平行四边形法则转化为一个向量； ②数量积a·b的最小值为－|a||b|； ③考虑基本不等式求最值 P为平面ABC内一点 P为平面ABC内一点，不要片面地理解为△ABC内一点 eq \o(PA,\s\up16(→))·(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))的最小值 根据题干条件，向量数量积的最值可以考虑两种方法：一是几何法，利用适当的几何意义、基本不等式求最值；二是建立平面直角坐标系，构建适当的函数模型(包括自变量的范围)，利用函数的相关性质求出最值 方法2：坐标法 着眼点：等边三角形△ABC是一个规则图形，比较容易建系，转化为代数问题，运算步骤为： ①建立坐标系，写出A，B，C的坐标． ②设P(x，y)，用x，y表示eq \o(PA,\s\up16(→))·(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))，将所求数量积转化为关于x，y的函数关系式． ③利用函数的相关性质求出最小值 [解析]　B　[法一　几何法： 第一步　画出图形，利用向量的平行四边形法则化简eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)) 如图，eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝2eq \o(PD,\s\up16(→))(D为BC中点)，则eq \o(PA,\s\up16(→))·(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＝2eq \o(PD,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))， 第二步　确定P点的大致位置使eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PD,\s\up16(→))最小 要使eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PD,\s\up16(→))最小，需eq \o(PA,\s\up16(→))，eq \o(PD,\s\up16(→))方向相反，即P点在线段AD上，所以(2eq \o(PD,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→)))min＝－2|eq \o(PA,\s\up16(→))|·|eq \o(PD,\s\up16(→))|，即求|eq \o(PD,\s\up16(→))|·|eq \o(PA,\s\up16(→))|最大值． 第三步　利用基本不等式求最值 又|eq \o(PA,\s\up16(→))|＋|eq \o(PD,\s\up16(→))|＝|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，则|eq \o(PA,\s\up16(→))|·|eq \o(PD,\s\up16(→))|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(PA,\s\up16(→))|＋|\o(PD,\s\up16(→))|,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq \f(3,4)， 所以(2eq \o(PD,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→)))min＝－2×eq \f(3,4)＝－eq \f(3,2). 法二　坐标法： 第一步　建立平面直角坐标系． 以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0，eq \r(3))，B(－1,0)，C(1,0)． 第二步　设出P点的坐标(x，y)，将向量eq \o(PA,\s\up16(→))，eq \o(PB,\s\up16(→))，eq \o(PC,\s\up16(→))表示出来． 设P(x，y)，则eq \o(PA,\s\up16(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \o(PB,\s\up16(→))＝(－1－x，－y)，eq \o(PC,\s\up16(→))＝(1－x，－y)， 第三步　用x，y表示eq \o(PA,\s\up16(→))·(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))，转化为函数关系式求最值． ∴eq \o(PA,\s\up16(→))·(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))＝2x2－2eq \r(3)y＋2y2＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－\f(3,4)))，其最小值为2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \f(3,2)，此时x＝0，y＝eq \f(\r(3),2).] 向量数量积最值或取值范围必须有相关的函数或不等式，因此，根据题目中给出的已知条件，一是通过向量的线性运算和数量积运算，利用适当的几何意义、基本不等式求出最值或取值范围；二是建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算，构建适当的函数模型(包括自变量的范围)，然后利用函数的相关性质求出最值或取值范围． (2022·北京卷，10)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))的取值范围是(　　) A．[－5,3]　　　　　 B．[－3,5] C．[－6,4] D．[－4,6] 解析：D　[建立如图所示坐标系，由题易知，设C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∵PC＝1，∴设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0,2π)， eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝(3－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，4－sin θ)＝－3cos θ－4sin θ＋cos2θ＋sin2θ＝1－5sin(θ＋φ)(其中sin φ＝eq \f(3,5)，cos φ＝eq \f(4,5))∈[－4,6]，所以选D.] $$