第5章 第1节 数列基础-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第1节　数列基础 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 3．了解数列的递推关系和前n项和 1.由数列的前几项求数列的通项公式，达成数学抽象素养． 2．由an与Sn的关系求通项an，发展逻辑推理和数学运算素养 3．由数列的递推关系求数列的通项公式，增强逻辑推理和数学运算素养 　　简单数列的通项公式的求解，数列的前n项和与通项的关系，求数列的各项，及由Sn求an是高考的热点．高考中三种题型都有可能出现，试题难度中等 1．数列的概念 (1)数列的定义：按照　一定顺序　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都称为这个数列的　项　. (2)数列与函数的关系：数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值． (3)数列有三种表示法，它们分别是　列表法　、　图像法　和　通项公式法　. 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数　有限　 无穷数列 项数　无限　 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an＋1>an 其中n∈N＋ 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列的第n项an与　n　之间的关系可以用　an＝f(n)　来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的通项公式． (2)递推公式：如果已知数列的首项(或前n项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)． 4．数列的前n项和 (1)定义：一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和． (2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 1．一些常见数列的通项公式 (1)数列1,2,3,4，…的通项公式为an＝n； (2)数列2,4,6,8，…的通项公式为an＝2n； (3)数列1,3,5,7，…的通项公式为an＝2n－1； (4)数列1,2,4,8，…的通项公式为an＝2n－1； (5)数列1,4,9,16，…的通项公式为an＝n2； (6)数列1，，，，…的通项公式为an＝. (7)数列1，－1,1，－1，…的通项公式为an＝(－1)n－1或(－1)n＋1； (8)数列－1,1，－1,1，…的通项公式为an＝(－1)n. 2．典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an＋1＝an＋f(n) 累加法 a1＝1， an＋1＝an＋2n an＋1＝anf(n) 累乘法 a1＝1，an＋1＝2nan an＋1＝pan＋ q(p≠0,1，q≠0) 化为等 比数列 a1＝1，an＋1＝2an＋1 an＋1＝pan＋q·pn＋1 (p≠0,1，q≠0) 化为等 差数列 a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1 其中(1)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的求解方法是：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋pλ－λ，与an＋1＝pan＋q比较即可知只要λ＝. (2)an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，数列为等差数列． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(　　 ) (2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　 ) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　 ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　 ) (5)已知an＋2＝f(an＋1，an)时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a1，a2.(　　 ) (6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．(2024·长沙市模拟)已知数列的前4项为2,0,2,0，`则依此归纳该数列的通项不可能是(　　 ) A．an＝(－1)n－1＋1　 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1 解析：C　[对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sin不合题意．] 2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　 ) A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项或第6项 解析：D　[令an＝n2－8n＋15＝3， 整理可得n2－8n＋12＝0， 解得n＝2或n＝6. 故3是数列{an}中的第2项或第6项．] 3．(2022·全国乙卷，4)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 解析：D　[(取特殊值)取αn＝1，于是有b1＝2，b2＝，b3＝，b4＝，…，分子分母分别构成斐波那契数列，于是有b5＝，b6＝，b7＝，b8＝. 于是得b1＞b5，b3＝1＋＞1＋＞1＋＝b8，b6＝1＋＞1＋＝b2.对比选项．] 4．已知Sn＝2n＋3，则an＝　________　. 解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝ 答案： 5．在数列{an}中，a1＝1，an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)，则a100等于　________　. 解析：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1. 两式相加得an＋3＝－an，则an＋6＝－an＋3＝an， 即数列{an}的周期为6，所以a100＝a16×6＋4＝a4＝a3－a2＝(a2－a1)－a2＝－a1＝－1. 答案：－1 　　　由数列的前几项求数列的通项公式(基础点) 1．已知n∈N＋，给出4个表达式： ①an＝②an＝， ③an＝，④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　　 ) A．①②③　　　　　　　 B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析：A　[检验知①②③都是所给数列的通项公式．] 2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－，，－，，…； (3)1,0,1,0，…； (4)9,99,999,9 999，…. 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 an＝2(n＋1)，n∈N＋. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×，n∈N＋. (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此数列的一个通项公式an＝或 an＝(－1)n＋1＋，n∈N＋. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N＋. 用观察法求数列的通项公式的技巧 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 提醒：不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一． 由an与Sn的关系求通项an(重难点) [典例]　(1)(2024·山东济南市模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝n2＋2n，则a2 024＝(　　) A．4 043 B．4 042 C．4 049 D．2 028 [解析]　C　[法一：a2 024＝S2 024－S2 023＝ 2 0242－2 0232＋2×2 024－2×2 023＝4 049. 法二：∵Sn＝n2＋2n，∴当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1. 当n＝1时，也适合上式，∴an＝2n＋1，则a2 024＝2×2 024＋1＝4 049.] (2)(2024·海南儋州高二校考)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2 024＝(　　) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 [解析]　D　[当n＝1时，a2＋2S1＝2＋1，因为S1＝a1＝1，所以a2＝1. 当n≥2时，由an＋1＋2Sn＝2n＋1得an＋2Sn－1＝2n－1，两式相减可得an＋1－an＋2an＝2，即an＋an＋1＝2.因为a2＝1，所以a3＝1，a4＝1，…，an＝1，可得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n，所以S2 024＝2 024.] 已知Sn求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”． (3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝ 提醒：在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形． 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则{an}的通项公式为　________　. 解析：a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. 答案：an＝4n－5 2．(2024·九江模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an＝Sn－2n＋1，数列{Sn}的前n项和为Tn. (1)求证：数列{an－2}为等比数列； (2)试比较Tn与2Sn＋1的大小． 解：(1)当n＝1时，2a1＝a1－1，a1＝－1， 当n≥2时，2an＝Sn－2n＋1，① 2an－1＝Sn－1－2n＋3，② ①－②得an＝2an－1－2，即an－2＝2(an－1－2)． 又∵a1－2＝－3，∴{an－2}是首项为－3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知an－2＝－3·2n－1，an＝2－3·2n－1， ∵2an＝Sn－2n＋1，∴Sn＝2n＋3－3·2n， ∴Tn＝[5＋7＋…＋(2n＋3)]－3·(21＋22＋…＋2n) ＝(2n＋8)－3·＝n2＋4n＋6－6·2n. ∴Tn－2Sn＝n2， 又∵n∈N*，∴n2≥1，∴Tn≥2Sn＋1. 　　　由数列的递推关系求数列的通项公式(综合点) ◆[命题角度1]　形如an＋1＝an＋f(n)，求an　 1．(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求数列{an}的通项公式． (2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式． 解：(1)由题意，得an＋1－an＝＝－， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－. (2)由题意知an＋1－an＝2n， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. ◆[命题角度2]　形如an＋1＝anf(n)，求an　 2．在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.求数列{an}的通项公式． 解：由题设知，a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1. ∴＝. ∴＝，…，＝，＝，＝3. 将以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到＝.又∵a1＝1，∴an＝. ◆[命题角度3]　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an　 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列， 公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. ◆[命题角度4]　形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an　 4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式． 解：∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0， ∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1， ∴是以1为首项，为公差的等差数列． ∴＝＋(n－1)×＝＋， ∴an＝(n∈N＋)． 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度1)．注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度3、4)转化为特殊数列求通项． 　数列的函数特性(创新点) ◆[命题角度1]　数列的单调性　 1．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an＞0”是“{Sn}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[显然“an＞0”“数列{Sn}是递增数列”，∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．但反之不成立，如数列{an}为－1,0,1,2,3,4，…，数列{Sn}是递增数列，但an不一定大于零，还有可能小于或等于零，∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件． ∴“an＞0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．] 2．已知f(x)＝的定义域为R，数列{an}(n∈N＋)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　 B. C．(1,3) D．(3，＋∞) 解析：D　[由于{an}是递增数列，∴a＞1，且f(2)＞f(1)，即a2＞2a＋3，解得a＜－1或a＞3，∴a＞3.] 3．(2022·北京卷，15)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)．给出下列四个结论： ①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是　________　. 解析：n＝1，可得a＝9，又各项均为正，可得a1＝3，令n＝2可得a2(3＋a2)＝9，可解得a2＝<3，故①正确；当n≥2时，由Sn＝，得Sn－1＝，于是可得an＝－，即＝，若{an}为等比数列，则n≥2时an＋1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3则不成立，故②错误；an·Sn＝9(n＝1,2…)．可得an·Sn＝an＋1·Sn＋1，于是＝<1，所以an＋1<an，于是③正确；对于④，若所有项均大于等于，取n>90 000，则an≥，Sn>900，于是anSn>9与已知矛盾，所以④正确． 答案：①③④ 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 (1)作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断； (3)结合相应函数的图像直观判断． [命题角度2]　数列的周期性　 4．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝　________　. 解析：∵an＋1＝， ∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3， ∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2，而a2＝， ∴a1＝. 答案： 1．类比周期函数的概念，我们可以定义：对于数列{an}，如果存在一个常数T(T∈N＋)，使得对于任意的正整数n＞n0，恒有an＋T＝an成立，那么称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列．若n0＝1，则称数列{an}为纯周期数列；若n0≥2，则称数列{an}为混周期数列．T的最小值称为最小正周期，简称周期． 2．解决数列周期性问题时，可先根据已知条件求出数列的前几项，当出现各项重复性地出现后，便可由此确定该数列的最小正周期T，再根据公式an＋T＝an将所求项转化为下标较小的项，从而求得该项的值． ◆[命题角度3]　数列的最值　 [典例]　已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断此数列是否有最大项．若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，请说明理由． 核心素养 逻辑推理、数学运算——由数列的通项公式求数列的最大(小)项 信息提取 信息解读 逻辑推理 {an}的通项 公式为an＝ {an}的通项an可看作是定义域为正整数的函数，故可转化为函数问题，利用函数思想求解 方法一：利用单调性求解，作差： an＋1－an＝·， 差式与0比较8－n的正负，确定最大项． 方法二：假定an(n≥2)为最大项，则 解不等式组确定n的值将所得n值代入an，得最大项 判断此数列 是否有最 大项 求数列{an}的最大项可转化为求an的最大值，再进一步转化为研究函数an＝f(n)的单调性，或根据不等式组 确定该项 第几项最大 f(n)＝an取最大值时，n的值即为所求，或通过不等式组确定取最大项时n的值 [解]　方法一： 第一步　将相邻两项作差． an＋1－an＝－＝·， 第二步　比较差式与0的大小，根据数列{an}的单调性得到各项间的大小关系． 当n<8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞8时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a8＝a9＞a10＞a11＞…， 第三步　根据各项间的大小关系找到最大项及相应的n值． 故数列{an}有最大项，为第8项和第9项， 且a8＝a9＝＝. 方法二： 第一步　假定an为最大项． 设数列{an}的第n项最大， 第二步　根据数列最大项的特征列不等式组． 则 即 第三步　解不等式组． 解得8≤n≤9. 又n∈N， ∴n＝8或n＝9. 第四步　根据求解结果得到最大项及相应的n值． 故数列{an}有最大项，为第8项和第9项， 且a8＝a9＝. 求数列的最大项、最小项的常见方法 1．利用“两边夹”思想 设an为数列{an}中的最大项，则有 (n≥2)． 解出适合上述不等式组的n值，从而确定数列的最大项． 类似地，设an为数列{an}中的最小项，则有 (n≥2)． 解出适合上述不等式组的n值，便能确定数列的最小项． 2．利用函数思想 (1)数列是特殊函数，具有函数的一些特性，求数列项的最值完全可以依据研究函数最值的方法解决，但特别要注意数列的项数n只能是正整数． (2)根据条件构造相应的函数，通过配方、作差、作商等方法来确定函数的单调性，进而确定数列的单调性，再求出数列的最大项或最小项． (3)给出一个数列{an}，若能够判断数列{an}为递增数列，则该数列具有以下性质： a1＜a2＜…＜an＜…，故(an)min＝a1. 反之，若该数列为递减数列，则有a1＞a2＞…＞an＞…，故(an)max＝a1. 学科网（北京）股份有限公司 $$