第4章 第2节 向量基本定理与向量的坐标-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第2节　向量基本定理与向量的坐标 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1.平面向量的基本定理的应用，发展直观想象和数学运算素养． 2．平面向量的坐标运算，提升数学运算素养． 3．平面向量共线的坐标表示，增强数学抽象和数学运算素养 　　高考对平面向量的基本定理与坐标运算的考查主要有以下几方面：①平面向量基本定理及其意义；②用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；③用坐标表示平面向量共线的条件．对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的．考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等 1．平面向量基本定理 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb，平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的一组基底． 2．直线上向量的坐标 (1)数轴：在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴． (2)a在轴l上的坐标：如果a＝xe，则x叫作向量a在轴l上的坐标． 3．直线上向量的坐标运算 (1)直线上两个向量相等：直线上两个向量为a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝ x2. (2)直线上两个向量的和：设直线上两个向量为a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝( x1＋ x2)e. 4．平面向量的坐标 (1)向量垂直：平面上两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直． (2)正交基底 如果平面向量的基底{ e1，e2}中，e1⊥e2就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解． (3)向量的坐标 给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 5．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　，a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　，λa＝　(λx1，λy1)　，|a|＝　　. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝　(x2－x1，y2－y1)　， ||＝　　.A、B两点的中点坐标 6．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔　x1y2－x2y1＝0　. 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为 . ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　 ) (2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　 ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　 ) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成 ＝.(　　 ) (5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b等于(　　 ) A．(5,7)　 B．(5,9)　 C．(3,7)　 D．(3,9) 解析：D　[2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)．] 2．(教材改编)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　 ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析：A　[根据题意得＝(3,1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．] 3．(2022·新高考Ⅰ卷，3)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：B　[如图，因为＝＋，BD＝2DA，所以＝＋＝n－m，＝3，＝＋3＝m＋3(n－m)＝3n－2m.] 4．(2023·上海春招)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,2)，求a－2b＝　________　. 解析：因为向量a＝(3,4)，b＝(1,2)， 所以a－2b＝(3－2×1,4－2×2)＝(1,0)． 答案：(1,0) 5．e1，e2是不共线向量，且a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，若b，c为一组基底，则a＝　________　. 解析：设a＝λ1b＋λ2c， 则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2， ∴解得 ∴a＝－b＋c. 答案：－b＋c 平面向量基本定理的应用(重难点) [典例]　(1)(多选)如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是(　　) A.与　　　　　 B.与 C.与 D．与 [解析]　AC　[与不共线，∥，与不共线，∥，所以选项A、C中的向量组可以作为该平面内所有向量的基底．] (2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为　________　. [解析]　因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝. 即P为AB的一个三等分点(靠近A点)， 又因为A，M，Q三点共线，设＝λ. 所以＝－＝λ－＝ λ－＝＋， 又＝t＝t(－)＝t ＝－t. 故解得故t的值是. [答案]　 　　 平面向量基本定理的实质及应用思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2024·葫芦岛模拟)如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，L均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O.若＝m＋n，则＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　 D．1 解析：B　[连接OA，OJ.等边△AIE和等边△KGC中，中心均为O，∴H，O，B三点共线． 连接HB，JD，则四边形AJHB，BODC都是平行四边形，且点O为HB、JD的中点． △AOJ中，＝＋＝＋＝＋2， 平行四边形BODC中， ＝＝＋＝＋， ∴＋2＝＋2(＋)＝2＋3， 即＝2＋3， 由题，＝m＋n， ∴m＝2，n＝3， ∴＝.] 　平面向量的坐标运算(基础点) 1．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　) A.a＋b　　　　　 B．－a－b C.a＋b D．a－b 解析：A　[设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)， 所以解得则c＝a＋b. 2．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为　________　. 解析：法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)， 则＝－＝(4λ－4,4λ)． 又＝－＝(－2,6)， 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝， 所以＝＝(3,3)， 所以点P的坐标为(3,3)． 法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y. 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3， 所以点P的坐标为(3,3)． 答案：(3,3) 3．已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2)，B(5,7)，C(－3,4)，则第四个顶点D的坐标是　________　. 解析：设顶点D(x，y)．若平行四边形为ABCD，则由＝(1,5)，＝(－3－x,4－y)， 得所以 若平行四边形为ACBD，则由＝(－7,2)， ＝(5－x,7－y)，得所以 若平行四边形为ABDC，则由＝(1,5)， ＝(x＋3，y－4)，得所以 综上所述，第四个顶点D的坐标为(－4，－1)或(12,5)或(－2,9)． 答案：(－4，－1)或(12,5)或(－2,9) 　　 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 平面向量共线的坐标表示(迁移点) [母题]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k. [解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. ∴k＝－. [子题1]　在母题条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 解：设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得 得或 ∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)． [子题2]　在母题条件下，若ma＋nb与a－2b共线， 求的值． 解：ma＋nb＝(3m－n,2m＋2n)，a－2b＝(5，－2)， 由题意得－2(3m－n)－5(2m＋2n)＝0. ∴＝－. [子题3]　若母题条件变为：已知A(3,2)，B(－1,2)，C(4，1)，判断A，B，C三点能否共线． 解：＝(－4,0)，＝(1，－1)， ∵－4×(－1)－0×1≠0，∴，不共线． ∴A，B，C三点不共线． 　　 1．向量共线的两种表示形式 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. 2．两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$