第4章 第1节 平面向量及其线性运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第1节　平面向量及其线性运算 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 3．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 4．了解向量的线性运算性质及其几何意义 1.平面向量的基本概念，发展数学抽象素养． 2．平面向量的线性运算，增强直观想象和数学运算素养． 3．向量共线定理及其应用，提升数学抽象和数学运算素养 　　平面向量的线性运算、共线向量定理是近几年高考命题的热点，尤其是向量的线性运算出现的频率较高．有时与三角、平面几何知识交汇考查，有时也会命制新定义问题．题型以选择题、填空题为主，属中低档题 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有　方向　的量；||(或|a|)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模). 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是　任意的　 记作　0　 单位向量 长度为单位1的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 向量平行 或共线 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 a与b平行或共线，记作a∥b 相等向量 长度　相等　且方向　相同　的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度　相等　且方向　相反　的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做a与b的和 (1)交换律： a＋b＝　b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝　a＋(b＋c　) 减法 平面上任意给定两个向量a·b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，λa的长度|λa|＝|λ|·|a|. (1)|λa|＝　|λ||a|　； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向　相同　；当λ<0时，λa的方向与a的方向　相反　；当λ＝0时，λa＝　0　 (1)结合律 λ(μa)＝(λμ)a； (2)分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使b＝λa. 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 3．若A、B、C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心． 4.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(　　 ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　 ) (3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　 ) (4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　 ) (5)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(　　 ) (6)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　 ) (7)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× (6)×　(7)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)(多选)下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 D．若a＝b，b＝c，则a＝c 答案：BCD 2．(教材改编)下列各式化简结果正确的是(　　) A.＋＝ B.＋＋＋＝ C.＋－＝0 D.－－＝ 答案：B 3．(2024·吕梁模拟)在△ABC中，D为BC的中点，＝2，＝2，EF与AD交于G，＝λ，则λ＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由题设，＝(＋)＝＋，又μ＋(1－μ)＝，μ∈R且＝λ，所以μ＋(1－μ)＝λ＋λ， 即，解得.] 4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝　________　. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 5．(教材改编)已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝　________　. 解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得 答案：－ 　平面向量的基本概念(基础点) 1．(2024·湖南长沙雅礼中学校考)下列说法正确的是(　　) A．若a∥b，则a与b的方向相同或者相反 B．若a，b为非零向量，且＝，则a与b共线 C．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λb D．若e1，e2是两个单位向量，且＝1，则|e1＋e2|＝ 解析：B　[对于A，当a＝0时，a与b的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；对于B，a，b为非零向量，表示与a方向相同的单位向量，表示与b方向相同的单位向量，由于＝，所以a与b共线，所以该选项正确；对于C，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，所以该选项错误；对于D，由＝1得1＋1－2e1·e2＝1， ∴2e1·e2＝1，所以，|e1＋e2|＝＝＝，所以该选项错误．] 2．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是　________　. 解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则∥且||＝||， 因此， ＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案：②③ 　　 对于向量的概念应注意以下几条 (1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示； (2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量； (3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小． 　平面向量的线性运算(重难点) [典例]　(1)(多选)如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝－ [解析]　ABD　[＝＋＝＋，A正确； ＝＋＝＋＝(－)＋＝＋，B正确； ＝＋＋＝－＋＋＝－，，C错误； ＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．] (2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为　________　. [解析]　＝＋＝＋＝＋·(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. [答案]　 [互动探究] 若典例(2)条件变为：若＝2，＝＋λ，则λ＝　________　. 解析：∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋.又∵＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋. ∴＝＋，即λ＝. 答案： 　　 向量的线性运算的解题策略 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 1．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则M点在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是的△ABC面积的 解析：ACD　[对选项A，＝＋⇒－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以选项A正确． 对选项B，＝2－⇒－＝－∴＝，则点M在边CB的延长线上，所以选项B错误． 对选项C， 设BC中点D，则＝－－，＝－－＝＋＝2，由重心性质可知选项C成立． 对选项D，＝x＋y且x＋y＝⇒2＝2x＋2y，2x＋2y＝1. 设＝2，所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以选项D正确．] 2．(2024·上饶模拟)如图，在△ABM中，BM＝3CM，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．－　　B.　 C．－　　D. 解析：D　[＝＝(＋)＝＋＝＋×＝＋(＋)＝－＋，所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－＋＝.] 向量共线定理及其应用(迁移点) [母题]　设向量e1和e2不共线．若＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，则实数k的值为　________　. [解析]　∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2. ∵A，C，F三点共线， ∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共线的非零向量， ∴因此k＝2. [答案]　2 [子题1]　在母题条件下，若ke1＋e2与e1＋ke2共线．则实数k的值为　________　. 解析：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 即ke1＋e2＝λe1＋λke2， ∴解得k＝±1. 答案：±1 [子题2]　在母题条件下，如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线． 证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2， ∴＝－2，∴与共线． 又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线． 　　 1．共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛． 2．证明三点共线的方法 若＝λ，则A，B，C三点共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$