第2章 第13节 第1课时 利用导数证明不等式-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第13节　导数的综合应用 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.理解并掌握利用导数解决不等式的恒成立、能成立问题． 2．理解并掌握利用导数比较大小、证明不等式． 3．理解并掌握利用导数研究函数的零点问题 1.利用导数证明不等式，发展逻辑推理和数学运算素养． 2．利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．利用导数研究函数的零点问题，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养 　　导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用 第一课时　利用导数证明不等式 利用导数证明不等式是高考考查的重点和热点，常转化为函数的单调性、最值问题求证．　　 　构造法证明一元不等式 [典例]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋. [解]　(1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，由于ex＞0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1＜0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减； 当a＞0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a， 当x＜－ln a时，f′(x)＜0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减； 当x＞－ln a时，f′(x)＞0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增； 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a＞0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：方法一：由(1)得，f(x)min＝f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a， 要证f(x)＞2ln a＋，即证1＋a2＋ln a＞2ln a＋，即证a2－－ln a＞0恒成立，令g(a)＝a2－－ln a(a＞0)，则g′(a)＝2a－＝， 令g′(a)＜0，则0＜a＜；令g′(a)＞0，则a＞； 所以g(a)在上单调递减，在上单调递增，所以g(a)min＝g＝2－－ln＝ln＞0，则g(a)＞0恒成立， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋恒成立，证毕． 方法二：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1， 由于y＝ex在R上单调递增，所以h′(x)＝ex－1在R上单调递增，又h′(0)＝e0－1＝0， 所以当x＜0时，h′(x)＜0；当x＞0时，h′(x)＞0； 所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立， 因为f(x)＝a(ex＋a)－x＝aex＋a2－x＝ex＋ln a＋a2－x≥x＋ln a＋1＋a2－x， 当且仅当x＋ln a＝0，即x＝－ln a时，等号成立， 所以要证f(x)＞2ln a＋，即证x＋ln a＋1＋a2－x＞2ln a＋，即证a2－－ln a＞0， 令g(a)＝a2－－ln a(a＞0)，则g′(a)＝2a－＝， 令g′(a)＜0，则0＜a＜；令g′(a)＞0，则a＞； 所以g(a)在上单调递减，在上单调递增， 所以g(a)min＝g＝2－－ln＝ln＞0，则g(a)＞0恒成立， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋恒成立，证毕． 　　 利用导数法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值证明h(x)>0.若函数f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max；若函数f(x)与g(x)的最值不易求出，可对h(x)＝f(x)－g(x)适当变形后进行转化． 已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0. [解]　(1)由题意：f(x)＝得f′(x)＝＝ ；∴f′(0)＝＝2；即曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线斜率为2， ∴y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程为y－(－1)＝2(x－0)，即2x－y－1＝0. (2)当a≥1时，f(x)＋e≥， 令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1，g′(－1)＝0，g′(x)在R上为增函数． 当x＜－1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞－1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 所以g(x)≥g(－1)＝0. 因此当a≥1，f(x)＋e≥0. 　等价转化法证明二元不