第2章 第4节 指数与指数函数-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮教师用书word（人教B版）

第4节　指数与指数函数 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 4．在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 1.根式与有理数指数幂的运算，提升数学运算素养． 2．指数函数的图像及应用，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．指数函数的性质及应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　幂的运算性质、指数函数的图像和性质是高考命题的热点，往往与其他函数相结合考查，如：图像的识别与应用，利用单调性比较大小，解不等式，求参数的取值范围等．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 1．有理指数幂 (1)一般地，an中的a称为底数，n称为指数． (2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． ①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0. ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－；负数的偶数次方根在实数范围内不存在． ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． (3)当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 一般地，根式具有以下性质： ①()n＝a.②＝ (4)一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定＝；当没有意义时，称没有意义． 对于一般的正分数，也可作类似规定，即＝()m＝.但值得注意的是，这个式子在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义． 负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝. (5)有理指数幂的运算法则：asat＝as＋t，(as)t＝as t，(ab)s＝asbs. 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义． 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数　y＝ax(a>0且a≠1)　称为指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x<0时，　y>1　； 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是 　增函数　 在(－∞，＋∞) 上是　减函数　 1．()n＝a(n∈N＋)． 2.＝n为偶数． 3．底数a的大小决定了图像相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图像越高． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)与()n都等于a(n∈N＋)．(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)函数y＝ (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)化简－(－1)0的结果为(　　 ) A．－9　　　 B．7　　 C．－10　　 D．9 解析：B　[原式＝－1＝8－1＝7.] 2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图像之间的关系是(　　 ) A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：A　[∵y＝x＝2－x， ∴它与函数y＝2x的图像关于y轴对称．] 3．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于(　　) A．不确定 B．0 C．1 D．2 答案：C 4．(2023·天津卷，3)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析：D　[由y＝1.01x在R上递增， 则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在(0，＋∞)上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.] 5．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝　________　. 答案：2或 　　　　　根式与有理数指数幂的运算(基础点) 答案： 答案：－ 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做