第6章 第7节 第1课时 空间中的点、直线、平面与空间向量-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

第7节　空间向量在立体几何中的应用

课时冲关48　空间中的点、直线、平面与空间向量

学生用书　P347

[基础训练组]

1．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则(　　)

A．l∥α或l⊂α　　　 B．l⊥α

C．l⊂α  D．l与α斜交

解析：A　[由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×(－1)＝0，所以a⊥u，故l∥α或l⊂α.]

2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　)

A．2　  B．－4　

C．－5　  D．－2

解析：C　[因为α⊥β，所以1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)×k＝0，所以k＝－5.]

3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：D　[因为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．

经验证，当n＝时，

n·＝－＋0＝0，n·＝＋0－＝0，故选D.]

4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　)

A．平行  B．异面

C．垂直  D．以上都不对

解析：C　[以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0,0，0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，

0,0)，M(，2,0)．

∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.]

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)

A．EF至多与A1D，AC之一垂直

B．EF⊥A1D，EF⊥AC

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1异面

解析：B　[以D点为坐标原点，

以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0，0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，

＝，＝(－1，－1,1)，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.]

6．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2，0)，＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有(　　 )

A．AP⊥AB

B．AP⊥AD

C.是平面ABCD的一个法向量

D.∥

解析：ABC　[对于A，·A＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．]

7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．

解析：由题意知，点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足Q的坐标为(0，，)．

答案：(0，，)

8．(2024·武汉市调研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．

解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，

由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，

由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，

∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.

答案：α∥β

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．

解析：∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，