第6章 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

课时冲关47　空间直角坐标系、空间向量及其运算 学生用书　P345 [基础训练组] 1．O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　) A．一定不共面　　　　 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 解析：B　[ ∵＝＋＋，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．] 2．(2024·成都市模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6，2u－1,2λ)，若a∥b，则λ与u的值可以是(　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 解析：A　[由题意知(λ＋1)·2λ＝2×6，可得λ＝－3或2，由0·2λ＝2(2u－1)得u＝，分析选项知A正确．] 3．(2024·东城区期末)结晶体的基本单位成为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是(　　) A. B．(0,0,1) C. D． 解析：A　[设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O、B为相对顶点，作出长方体ABCD－OEFG，如图所示： ∵平面BFGD经过点B与x轴垂直， ∴点B在x轴上的射影为G点，结合G得B的横坐标为；同理可得，点B在y轴上的射影为E点，结合E得B的纵坐标为；点B在z轴上的射影为D点，结合D(0,0,1)得B的竖坐标为1.由此可得点B的坐标为.] 4．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A.　　 B．2　　　 C.　　　 D. 解析：D　[设＝m＋n，＝λ＋μ，其中m，n，λ，μ为实数． 因为B，D，E，C共线，所以m＋n＝1，λ＋μ＝1. 因为＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2， 易知x＞0，y＞0，所以＋＝(x＋y)＝≥＝.] 5．(2024·哈尔滨市模拟)已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　) A. B． C．4 D．8 解析：A　[|a|＝3，|b|＝3，而a·b＝4 ＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴cos〈a，b〉＝，故sin〈a，b〉＝ ＝，于是以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝3×3×＝.] 6．(多选)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　 ) A．(＋＋)2＝3()2 B.·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··| 解析：AB　[由向量的加法得到：＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴()2＝3()2，所以A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故|A··|＝0，因此D不正确．故选AB.] 7．(2024·银川市模拟)已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________． 解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1).＝(－1－x,3－y,4－z)，由＝2，得点P坐标为，又D(1,1,1)，∴||＝. 答案： 8．(2024·包头市模拟)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为__________________． 解析：由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， 设P(0,0，a)(a>0)，则E， 所以＝(0,0，a)，＝，||＝a， ||＝＝＝. 又cos〈，〉＝，所以＝， 解得a2＝4，即a＝2，所以E(1,1,1)． 答案：(1,1,1) 9．如图所示，已知二面角α－l－β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________． 解析：＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ， 所以||＝，即AD的长为. 答案： 10．(2024·遵义市调研)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c； (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值． 解：(1)∵c∥， ＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)， ∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)， ∴|c|＝＝3|m|＝3， ∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又∵|a|＝＝，|b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a与向量b的夹角的余弦值为－. [能力提升组] 11．已知球O的半径为1，A，B是球面上的两点，且AB＝，若点P是球面上任意一点，则·的取值范围是(　　) A. B． C. D． 解析：B　[由球O的半径为1，A，B是球面上的两点，且AB＝，可得∠AOB＝，·＝1×1×＝－，|＋|＝1， ·＝(－)·(－)＝·－(＋)·＋2＝－|＋|·||cos θ＝－cos θ∈.] 12．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)，若 AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为(　　) A.　 　B.　 　C.　 　D. 解析：D　[建立空间直角坐标系如图所示．设A(0，－1,0)，B(0,1,0)，S(0,0，)，M，P(x，y,0)，于是有＝，＝. 由于AM⊥MP，所以·＝0， 即y＝，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2＝.] 13．(2024·徐州市模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________． 解析：∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)， 则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－. 即当λ＝时，·取得最小值－.此时＝. 答案： 14．如图，已知斜三棱柱ABC － A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠BAA1＝120°，∠CAA1＝60°，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点． (1)用向量，，表示向量； (2)求异面直线AO与BC所成角的余弦值； (3)判定平面ABC与平面B1BCC1的位置关系． 解：(1)＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋)＝(＋＋)． (2)设＝a，＝b，＝c，则 ||2＝2 ＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c) ＝×(1＋1＋4＋0＋2×1×2cos 60°＋2×1×2cos 120°)＝， ∴||＝. 又＝b－a， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－a)＝1，||＝， ∴cos 〈，〉＝＝， ∴异面直线AO与BC所成角的余弦值为. (3)如图，取BC的中点E，连接AE， 则＝(＋)＝(a＋b)． ∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC. 又·＝(a＋b)·c＝×(1×2cos 120°＋1×2cos 60°)＝0， ∴AE⊥BB1. ∵BC∩BB1＝B，∴AE⊥平面B1BCC1. 又AE⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面B1BCC1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$